Integrales

GUÍA: INTEGRALES

Área de EET

Página 1 de 27

Derechos Reservados
Titular del Derecho: INACAP
N° de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual # ___ . ____ de fecha ___-___-___.
© INACAP 2002.

Página 2 de 27

1. INTEGRALES
1.1 La Integral Indefinida.
1.1.1 Conceptos Básicos
Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que

,
dy
= f (x) o
dx

,dy = f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y =

f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una única función
,

,

derivada: f (x) o una única diferencial dy = f (x) dx . Considerando el proceso inverso:
,

,

dada f (x) o dy = f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones
,

,

cuyaderivada es f (x) o cuya diferencial es f (x) dx .

Ejemplo

,

1: A y = f(x) = 3x + 5 le corresponde una única función derivada f (x) = 6x

o una única diferencial dy = 6x dx respecto a x en

, pero esta
3x2 + 5,

derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser:
3x2 + 6, 3x2 – 5,

3x2 +

1
,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí
2

solo en la constanteaditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas
y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones
anteriores para los distintos valores que asignemos a C.
,

Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada f (x) o
,

,

,

dy = f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar f (x) o Integrar f (x) dx , lo
que se anota:

∫

∫,

dy = f (x) dx

∫

,

es decir: y = f (x) dx

Página 3 de 27

Tenemos entonces que “ la notación

,

∫ f (x) dx representa a todas las funciones que al ser

,

,

derivadas respecto a x dan f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es f (x) dx”.
En

,

∫ f (x) dx , ∫

es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable

independiente,indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para
,

,

,

obtener f (x) o f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función f (x) ubicada
entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando.
La función que se obtiene al integrar

,

∫ f (x) dx

se llama la Integral Indefinida, La

,

Antiderivada o la función Primitiva de f (x) en D, ycorresponde a un conjunto de infinitas
funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función
primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante
de Integración .
,

“Si f(x) es una integral indefinida de f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las
,

integrales indefinidas de f (x) en D:

∫
Observación :

,dy = f (x) dx

,

f (x) dx = f(x) + C

entonces

,

∫ dy = ∫ f (x) dx

Página 4 de 27

1.1.2 Tablas de Integrales Básicas

Basados en los teoremas sobre derivación, podemos establecer:

1)

∫ dx = ∫ 1 dx = x + C

2)

∫ k dx = kx + C

k :cons tan te

3)

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

k :cons tan te

4)

∫ ( f(x) + g(x) −

5)

∫

6)

∫ x dx = ln x + C7)

∫

8)

∫e

9)

∫ sen x

dx = − cos x + C

10)

∫ cos x

dx = sen x + C

11)

∫ tan x

dx = ln sec x + C

12)

∫ cot x

dx = ln sen x + C

13)

∫ sec x

dx = ln(sec x + tan x ) + C

14)

∫ co sec x

xr dx =

h(x) ) dx =

x r +1
+C
r +1

∫ f(x) dx

+

∫ g(x) dx

, r∈ ,

−

∫ h(x) dx

r ≠ −1

1

a x dx =
x

ax
+ C
ln a

a∈+

dx = e x + C

dx = ln(co sec x − cot x ) + C

Página 5 de 27

15)

∫ sec

16)

∫ − co sec x dx = cot x + C
2
∫ co sec x dx = − cot x + C

17)

∫ sec x ⋅ tan dx = sec x +

18)

∫ − co sec x ⋅ cot x dx = co sec x + C
∫ − co sec x ⋅ cot x dx = − co sec x + C

19)

∫

20)

∫−

2

x dx = tan x + C
2

∫

1

C

dx = arc s en x + C

1− x 2
1

dx =...