Integrales

La primera publicación que establece la relación entre integral y derivada se debe a Isaac Barrow (1630-1677) que la estudió para algunos casos especiales. Fue realmente Newton, su discípulo predilecto, quien abandonó definitivamente los antiguos métodos particulares de integración en favor del método por el cual la integración es considerada como la operación inversa de la derivación. En estaidea es en la que nos basamos para estudiar el cálculo de primitivas. Los métodos que se exponen en este capítulo se refieren exclusivamente a funciones contínuas definidas en intervalos y no son de tipo teórico sino esencialmente prácticos. Definición Sea fx una función contínua en un intervalo I. Diremos que Fx es la función primitiva de fx si F U x  fx, x  I. La primitiva no esúnica. De echo la primitiva más general de fx en el intervalo I es Fx  K siendo K una constante. Proposición Propiedades de la integral:

INTEGRACIÓN Integral indefinida

 cfxdx  c  fxdx, siendo c una constante fx  gxdx   fxdx   gxdx fx  gxdx   fxdx   gxdx

Integrales inmediatas (K es una constante)
 dx  x  K

 x n dx 

x n1  K, n  1 n1fx n f

U xdx 

fx n1 K n1



1 dx  ln |x|  K x



f U x dx  ln|fx|  K fx

 e x dx  e x  K
x  a x dx  a  K, a  0

 e fx f

U xdx  e fx  K
fx

ln a

 sin xdx   cos x  K  cos xdx  sin x  K

 a fx f U xdx  a a  K ln  sinfxf U xdx   cosfx  K  cosfxf U xdx   sinfx  K



1 dx  arcsin x K 1  x2



f U x 1  f 2 x

dx  arcsinfx  K



1 dx  arctan x  K 1  x2



f U x dx  arctanfx  K 1  f 2 x

Algunos procedimientos elementales para ajustar el integrando a las fórmulas básicas están representados a continuación:

Desarrollar. Ejemplo: 1  x 2  1  2x  x 2 2 1  x 2 dx  1  2x  x 2 dx  x  2 x2 

x3 3

K 

x3 3 x2  x  K

Completar cuadrados. 1  Ejemplo: 2 1 x  2x  2 1  x  1 2 1  x 2  2x  2 dx   1  1 1 2 dx  arctanx  1  K x Separar en suma. x x Ejemplo: 2 xe  2x  e x  2x  1 e e e e 2  e x dx   2  1 dx  2e x  x  K  ex ex Dividir. Ejemplo: x  1  1 x1 x1 1 x  x  1 dx   1  x  1 dx  x  ln|x  1|  K Multiplicar y dividir por el conjugado. 1  cos x 1 1  cos2x  1  cos x  Ejemplo: 1  cos x 1  cos x1  cos x 1  cos x sin 2 x cos 1  cos  1  1 x dx   1 sin 2 x x dx   sin 2 x dx   sin 2x dx  cos x  1 cos x  1  K sin x sin x Relaciones trigonométricas. Ejemplo: 1  tan 2 x  sec 2 x Sumar y restar un factor. Ejemplo: tan 2 x  tan 2 x  1  1

Ejemplo Calcula el valor de las siguientes integrales inmediatas: 1. 6x 2  8x 3dx 2 x 2.  x  x  1 dx 2 3.  1  2 cos x dx sin x  cos x 4. 3 cos x  5 sin xdx

5.

2 dx x 6.  x  3 x dx 3 2 7.  x  2x dx x



SOLUCIÓN: 1. 6x 2  8x  3dx 
6x 3 3



8x 2 2

 3x  K  2x 3  4x 2  3x  K

Comprobación: 2x 3  4x 2  3x  K U  6x 2  8x  3 2 2 x 2.  x  x  1 dx   x  1  1 dx  x  x  ln |x|  K x 2 x 2  x  ln x  K U  x  1 1  x 2  x  1 Comprobación: x x 2 2 2 2 2 3.  1  2 cos x dx   sin x  cos x  2 cos x dx  sin x  cos x sin x  cos x

sin 2 x  cos 2 x dx   sin x  cos xsin x  cos x dx  sin x  cos x sin x  cos x  sin x  cos xdx   cos x  sin x  K 2 Comprobación:  cos x  sin x  K U  sin x  cos x  1  2 cos x sin x  cos x 4. 3 cos x  5 sin xdx  3  cos xdx  5  sin xdx 



 3 sin x  5 cos x  K Comprobación: 3 sin x  5 cos x  K U  3 cos x  5 sin x 5.  2 dx  2  1 dx  2 ln |x|  K  ln |x 2 |  K x x Comprobación: 2 ln x  K U  2 x 6.  x  3 x dx  x 1/2  x 1/3 dx 

x 1  x 3 1  K  2 x 3/2  3 x 4/3  K   12 1 4 3 1 1 3 2 3 3 2  3x x  4x x K Comprobación: 2 x x  3 x 3 x  K U  4 3  x 1/2  x 1/3  x  3 x 2 3 3...