Integrales

CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

p ≠ −1

∫

p
∫ x dx =

x p +1
+C
p +1

1

∫ cos 2 x dx = tgx + C
−1

dx
= ln x + C
x

∫ e dx = e
x

x

2

x

dx = cot gx + C

dx

∫ cosh

+C

a > 0, ∫ a x dx =
a > 0, ∫

∫ sen

ax
+C
ln a

∫

dx
= log a x + C
x ln a

∫

2

= tgh x + C

x

dx

= arcsen x + C

1 − x2
− dx

=arccos x + C

1 − x2
dx

∫ sen xdx = − cos x + C

∫ 1+ x

∫ cos xdx = sen x + C

∫

∫ senh xdx = cosh x + C

∫

∫ cosh xdx = senh x + C

∫ 1− x

2

= arctg x + C

dx
x2 + 1
dx
x2 −1

dx

2

= arg senh x + C

= arg cosh x + C

= arg tgh x + C

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si u = u( x ) , entonces

∫ u′( x ) f (u( x ))dx
u′

es inmediata siempre que lo seau′

∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien, ∫ 1 + u
ln x
(ln x ) 2
∫ x dx = 2 + C

∫

ex
dx = arcsen e x + C
1 − e2 x

2

dx = arctg u + C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
Queremos realizar la integral

∫ f ( x )dx

donde

f no

tiene una

primitiva inmediata. Debemosbuscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,

x = g (t )

para el cambio,

dx = g ′(t )dt

∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.

u = u( x )
y
(uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando
Seanobtenemos

v = v( x)

en ambos lados de la igualdad

uv = ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx .

Por tanto,

∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
Ejemplos:
u = x → du = dx

∫ xe dx = dv = e dx → v = e

x

x

x

entonces


x
x
x
x
x
 = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C


dx 

u = ln x → du = 
x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C
∫ ln xdx = 


dv = dx → v= x 


3. - Integración de funciones trigonométricas:
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:
1
(1 − cos( 2 x ))
2
1
cos 2 x = (1 + cos( 2 x ))
2

sen 2 x =

sen x + cos x = 1
2

2

cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x

Resultan:

sen( 2 x ) = 2 sen x cos x
2
 x
sen   =
1 − cos x
 2
2

2
 x
cos  =
1 + cos x
 2
2

1 − cos x x
tg   =
 2
1 + cos x

sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
2 sen x cos y = sen( x + y ) + sen( x − y )
2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y )
2 sen x sen y = − cos( x + y ) + cos( x − y )

Ejemplos:
i)

∫ sen

2

xdx =

1
1
1
1
1

∫ (1 − cos(2 x ))dx = 2 ∫ dx − 2 ∫ cos( 2 x )dx = 2  x − 2 sen(2 x ) + C


2ii) ∫ sen( 4 x ) cos( 2 x )dx =

1
11
1

∫ (sen( 6 x ) + sen(2 x ))dx = 2  6 ( − cos(6 x )) + 2 ( − cos(2 x )) + C


2

1
4

iii) ∫ cos x sen 3 xdx = ∫ sen 3 x (sen x )′dx = sen 4 x + C
iv)

∫ sen

5

x cos 2 xdx = ∫ sen 4 x cos 2 x sen xdx = − ∫ (1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x (cos x )′ dx =

∫ (1 − 2 cos

2

x + cos 4 x ) cos 2 x (cos x )′ dx =

1
2
1
cos 3 x −cos 5 x + cos 7 x + C
3
5
7

1
1
∫ (1 − cos( 2 x ))(1 + cos( 2 x ))dx = 4 ∫ (1 − cos 2 (2 x ))dx =
4
v)
1
1
1
1
1
1
1
= ∫ dx − ∫ 1 + cos( 4 x )dx = x − x − sen( 4 x ) = x − sen( 4 x ) + C
4
8
4
8
32
4
32

∫ sen

2

x cos 2 xdx =

dx
sen 2 x + cos 2 x
vi) ∫ 2
=
dx =
sen x cos 2 x ∫ sen 2 x cos 2 x

dx

∫ cos

2

x

+∫

dx
= tg x − cot x + C
sen 2 x5. - Integración de funciones hiperbólicas:
Son integrales del tipo

∫ R(senh x, cosh x )dx

y se resuelven de alguna de

las siguientes formas:
e x − e− x
e x + e− x
; cosh x =
1) Teniendo en cuenta la definición: senh x =
2
2

2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh 2 x − senh 2 x = 1
senh( 2 x ) = 2 senh x cosh x
cosh( 2 x ) = senh 2 x + cosh 2 x

1
2

1
2...