Integrales

203

CAPÍTULO VIII
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
8.1 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra
un sólido de revolución.
y

y

x

x

La primera región resulta de girar una región parabólica alrededor del eje y,
mientras que en el segundo caso se ha girado un rectángulo alrededor del eje
constituido por la partesuperior del rectángulo.
8.1.2 METODO DE LOS DISCOS
w

R
r
eje de
revolución

El volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje de revolución genera
un disco cuyo volumen es:

Volumen disco

(R2

r 2 )w

Si en lugar de girar un rectángulo se gira el área de la siguiente figura tenemos:

204

x
R(x)
r(x)
x=a

x=b

Cada disco representativo del volumen viene dadopor:

( R( x) 2

V

r ( x) 2 ) x

Se puede obtener una aproximación del volumen, calculando el volumen de n
discos similares de ancho x.
n

R ( xi ) 2

VolSólido

r ( xi ) 2 x

i1
n

R ( xi ) 2 r ( x i ) 2 x

VolSólido lim
n

i1

El volumen exacto para eje de revolución horizontal será:
b

R( x ) 2

VolSólido

r ( x ) 2 dx

a

Si el eje de revolución esvertical se tendrá:
b

R( x ) 2

VolSólido

r ( x ) 2 dy

a

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región
acotada por

205

y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el eje y c) la
recta x = 4 d) la recta x = 6.1
y
y= x

dx

4

x

a) eje x
b

A

4

R

2

2

r dx

x

a

0 2 dx

0

4

A

2

x2
2x dx
0

4

42
2

0

0

8

b) eje y
d

2

A

R

2

2

c

x

42

r dy
0

2

y2

A

2

4

2

4

y dy

16 y

0

dy

25
5

A

16 * 2

A

160 37
5

4

2

y 2 dy

32

y5
5

2

0

325
5

128
5

1 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill, 1986 Pag 287

206

c) x=4

y2

4
2

dy
4
d2

A

R

2

2

r dy

c
2

A

A

2

0 2 dy

0

(4

y

2

22

16 8 y 2

0)dy

0

A

y2

4

0

y3
16 y 8
3
32

y 4 dy

64
3

32
5

y5
5

2

16 * 2 8
0

23
3

25
5

480 320 96
15

256
15

d)

6

y2

2
dy
4
x=6

207
d

2

R2

A

r 2 dy

c
2

2

y4

y 4 12 y 2

4 dy

0

A

32 dy

05

A

22 dy

0

36 12 y 2

A

y 2 )2

(6

y
5

2

3

12

y
3

32
32
5

5

2
5

32 y
0

32 160
5

4

23
1

64

192
5

8.2.2 MÉTODO DE LAS CAPAS
El volumen de una capa cilíndrica generada por un rectángulo es igual a:
h

h
w

p

p
eje de revolución

Vol

w
2

p
2

Vol

p

Vol

2 pwh

2

h

w2
pw
4

w
2

p
p2

2

h
w2
pw
h
4

208

Si la que gira es una sección triangular se tiene:

h(y)
d
y
P(x) c

El volumen de la capa representativa de este rectángulo es
V = 2 p(y) h(y) y
Si se toman n capas el volumen del sólido de revolución será
aproximadamente:
n

Vol.Sólido

2 p ( y i ) h( y i ) y
i1

Si n

se tiene
d

n

Vol.Sólido lim
n

2 p ( y i ) h( y i ) y

2i1

p( y )h( y )dy
c

Por tanto, cuando se aplica el método de capas con eje de revolución horizontal
se tiene:
d

Vol.Sólido 2

phdy
c

Si el eje de revolución es vertical tendremos:
d

Vol.Sólido 2

ph dx
c

209

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región
acotada por
y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el ejey c) la
recta x = 4 d) la recta x = 6.2
a) Eje x

y
x = y2
dy
y
dx

2

Vol

2
2

2

4

yy dy

3

2

0

y dy

y4
4

2

0

b) Eje y

2

x

2
4

0

24

04

2

(2 4 ) 8

y

y=x1/2

x

4

Vol 2

4

x x dx
0

dx

x 3 / 2 dx

2
0

2

4

2 5/ 2
x
5

x

4
0

4
45 / 2
5

128
5

2 LARSON HOSTETLER, Cálculo y...