Integrales

TAREA No. 5
Elaborada por: DORALBA GOMEZ MONSALVE
I. CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:
a) (7x4-32x74+6x-5+8x-3x+4)dx
Primer paso: Para calcular esta integral separo cada término con su dx así:
7x4 dx- 32x74 dx+ 6x-5 dx+ 8x dx- 3x dx+4 dx
Segundo paso: Saco las constantes del integral así:
7x4 dx- 32x74 dx+ 6x-5 dx+ 81x dx- 3x dx+4 dx
Tercer paso: Procedo a integrar
7x55- 32x114114+6x-4-4+8ln│x│- 3x22+ 4x1 + C
Cuarto paso simplifico
7x55- 6x11411- 3x-42+8ln│x│- 3x22+ 4x+c

b) 23x+2 √(x2+4x+1)dx
Para el cálculo de esta integración aplico el método por sustitución

∪ = x2+4x+1 → =(x2+4x+1)12
Entonces derivando por cadena a ∪con respecto x tenemos:
dudx= 12 (x2+4x+1)12-1 (2x+4)
dudx= 12 (x2+4x+1)-12*2(x+2)
Ahora simplifico y despejo dx
du=(x2+4x+1)-12 (x+2) dx
du(x2+4x+1)-12 (x+2)=dx
Sustituyendo tenemos:
23x+2 √(x2+4x+1)dx= 23x+2u(du(x2+4x+1)-12 x+2)→
Simplifico = (u)(du)((x2+4x+1)12 u-12 → = 23uduu= 23(u2)du →
Su integración = u3332
Entonces como tengo que u =(x2+4x+1)12 la reemplazo
[(x2+4x+1)123]3 32 ⇒ Si multiplico exponentes tenemos:
(x2+4x+1)323 32 Realizando el reemplazo de “x” por extremos,tenemos:
32+4(3)+1)323- 22+4(2)+1)323

(9+12+1)323- (4+8+1)323
(22)323- (13)323
= 34,40 – 15,62
= 18,78 ≅19

c) 2x+1e-xdx
Para calcular esta integración aplico la técnica de integración por partes
2x+1e-xdx
U dv
U = (2x+1) →derivando = dudx=2 si despejamos dx →du2=dx ⇒du=2dx
dv= e-xdx →su integración sería:
Como tenemos e-xla sustituimos para buscar la variable
m= -xdmdx-1
Entonces la integración dv= e-xdx sería:
dvemdx
v=em*dm-1 → = -em*dm= -ex+c
Aplicando la fórmula: u.v - v*du tenemos:
(2x+1) (e-x+c)-(e-x+c)(2dx)
(2x+1) (e-x+c)-2(e-x+c)*dx
(2x+1) (e-x+c)-2(e-xdx + cdx
(2x+1) (e-x+c)+2e-x - cx + k
II. ENCONTRAR ƒ(x) SI ƒ’(x)= (X+2)(2X-3) Y ƒ(0)=7
I- ENCONTRAR f(x) si f’(x)= (x+2)(2x-3) y f(0)=7

f’(x)= (x+2)(2x-3) realizando lamultiplicación
f’(x)= 2x2-3x+4x-6
f’(x)= 2X2 + x -6

f(x)=?

f(0)=7

f’(x)= 2X2 + x -6 → 2x2+x-6dx
= 2x2dx+xdx-6dx
= 2x33+x22-6x+C
f(x)= 2x33+x22-6x+C
Si tenemos f(0)=7 Entonces x = 0 y C = 7 reemplazando en
f(x)= 2x33+x22-6x+C
2(0)33+022-6(0)+C

Pero como C=7 reemplazando quedaría así:
fx= 2x33+x22-6x+7
III.EJERCICIOS DEL LIBRO DE ARYA
1) 15-1: Numeral 68
(Costo marginal) El costo marginal de cierta empresa está dado por C`(x) 24 – 0.03x + 0.006x2. Si el costo de producir 200 unidades es de 22.700 encuentre:

a) La función de costo
Si tenemos que la función de costo marginal es C`(x) 24 – 0.03x + 0.006x2 → la función de costo es su integral que sería:

C(x) = (24-0.03x+0.006x2)dx

C(x) = 24x-0.03x22+0.006x33+ C

C(x)= 24x – 0,015x2 + 0,002x3 + C Esta sería la función de costo

b) Los costos fijos de la empresa.

C(x) = C'xdx

C`(x) 24 – 0.03x + 0.006x2

C(x) = (24-0.03x+0.006x2)dx

C(x) = 24x-0.03x22+ 0.006x33+ C

C(x)= 24x – 0,015x2 + 0,002x3 + C

Como C(x) = 22.700 cuando x = 200 reemplazando tenemos:

22.700 = 24(200) – 0,015(200)2 + 0,002(200)3 + C

22.700 =4800 – 600 + 16000 + c

22.700 = 20200 + c

22.700 – 20200 = c

2500 = c

Los costos fijos de la empresa es 2500


c) El costo de producir 500 unidades

C(x)= 24x – 0,015x2 + 0,002x3 + C

C = 2500
X = 500
Reemplazando nos quedaría:

C(500) = 24(500) – 0,015(500)2 + 0,002(500)3 + 2500

C(500) = 12000 – 3750 + 250000 + 2500

C(500) = 260750

El costo de fabricar 500unidades será de 260750.


d) Si los artículos pueden venderse a $90 cada uno, determine el nivel de producción que maximiza la utilidad.

I(x) = $90 c/u
Cantidad X = 200

I(x) = (90)(200)
I(x) = 18000
U(x) = I(x) – C(x)
U(x) = 18000x – (24x – 0,015x2 + 0,002x3 + 2500)
U(x) = 18000x – 24x + 0,015X2 – 0,002X3 - 2500
U(x) = 17976x + 0,015X2 – 0,002X3 - 2500 Esta sería la función de...