integrales

Matemáticas
1
1

EJERCICIOS RESUELTOS:
Series numéricas

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

1 Calcular la suma de las siguientes series:
(a) 4 + π −

∞

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
2
3
4
2 2
2
2
2n

(b)

3n + 2

∑n 3 + 3n 2 + 2n

n =1

Solución:
1
2
1
(a) 4 + π − + 2 = 4 + π
2
1
1−
2

(b) Descomponiendo en fracciones simples
3n + 2
n + 3n + 2n
3

2

=

1
1
2
+
−
n n +1 n +2


 

1 1
1  1 1
1
1  2 2
2
2
2 
Sn =  1 + + + ... +  +  + + ... + +




 2 3
 −  3 + 4 + ... + n + n + 1 + n + 2  =



 
 

2 3
n 
n n + 1 

1
  2

1 
1  
2 
1
2

= 1 +  +  +


+

−
 = 2−n +1−n +2

 
 


2  2 n + 1 n + 1 n + 2 


1
2 


S = lim  2 −
−
=2


n →∞ 

n + 1 n + 2

2

∞

Dada la serie

∑

n . Se pide:

n =1

•

Determina su carácter

•

Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.Justificar los pasos seguidos.

•

Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma
parcial n-ésima.

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en  1, ∞ ) se verifica
n

n

n

k =1

1

∫ f ( x)dx < ∑ f ( k ) < ∫ f ( x )dx + f ( n )
1

Forma 1:
n

En general para una función f decreciente y positiva en ( 1, ∞ ) la sucesión

∑ f (k )

es

k =1
n

del mismo orden que

∫ f ( x )dx .
1

Si la función f es creciente se verifica
n

∫

f ( x )dx <

n

n

∑ f (k ) <

k =1

1

∫ f ( x )dx + f ( n )
1

En este caso f ( x ) = x es creciente por lo que:
23/2
( n − 1) =
3

n

xdx < S ( n ) =

∫

n

n

∑

k <

k =1

1

∫

xdx + n =

1

2 3/2
n
+ n 1/2
3

Como el infinito n 3/2 es de orden superior a n 1/2 se tiene que:
2 3/2
n
3

S (n ) ≈

En efecto,
lim

n →∞

S (n )
2 3/2
n
3

=

3
1 + 2 + 3 + ... + n
3
n
lim
=
lim
3/2
3/2
n →∞
Stolz 2 n →∞ 3/2
1
n
n
− ( n − 1)

=

Multiplicandopor el conjugado

(

n n 3/2 + ( n − 1 )

3/2

n 3 − ( n − 1)

3

)=

3/2

1
1 + 1 + 





n

n + (n − 1) n
3
3
lim
=
lim
=1
n →∞ n 3 − n 3 − 3n 2 + 3n − 1 Dividiendo 2 n →∞ 3n 2 − 3n + 1
2
(
) 2
2

=

3
lim
2 n →∞

3/2

1/2

por n

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

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Ejercicios: Series numéricasFundamentos Matemáticos I

Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2:
Basta considerar la equivalencia:
1k + 2k + 3k + ... + n k ≈

n k +1
k +1

1
2

En nuestro caso k = .

3

∞

Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

∑

n =1

1

( 2n + 1)

3

con un error menor

que 10−2

Solución:

∞

∑

Consideramos la serie S =

1

n =13/2

∞

serie armónica generalizada:

que es convergente (por comparación con la

( 2n + 1)
1

∑ np

n =1

con p=3/2>1) y Sn la suma parcial n-ésima de

la serie.

Teniendo en cuenta que f ( x ) =

1

( 2x + 1)

3/2

es decreciente y positiva en  1, ∞ ) se

cumple
S − Sn =

1

( 2n + 3 )

3/2

+

( 2n + 5 )

Como

4

∞

1

Profesora: ElenaÁlvarez Sáiz

3/2

+ ... =

∑

k = n +1

h

f ( k ) ≤ lim

h →∞

∫ f ( x )dx
n

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

h

∫
h →∞
lim

h

f ( x )dx = lim

n

∫
h →∞
n


dx = lim  −
3/2
h →∞ 
( 2x + 1 )

1

1

( 2h + 1 )


=

2n + 1 ) 
(
1

+

1
2n + 1

Por lo tanto, el...