integrales

Temas de Geometría Vectorial y Álgebra Lineal
Profesor: Grimaldo Oleas L.
Documento No. 5
TEORÍA Y EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES
Junio de 2014
1. ELEMENTOS TEÓRICOS
Definiremos una función real que asigna, a cada matriz cuadrada real, un número real denominado determinante de la matriz, el cual se denota: o | |
1.1 Matriz menor
Sea una matriz cuadrada de orden n, con [ ].
Se denominamatriz menor de lugar para , a la matriz cuadrad de orden obtenida al suprimir en la fila número y la columna número . Dicha matriz menor se denota .
1.2 Cofactor
Sea una matriz cuadrada de orden n, con [ ].
Se denomina cofactor de lugar para , al determinante de la matriz menor , multiplicado por Dicho cofactor se denota Así,
1.3 La función determinante
Sea una matriz cuadrada de orden n, con[ ].
i. [ ].
ii.
=( )
iii.
Σ .
es el menor complementario de la entrada ; esto es, = .
es la matriz menor que se obtiene de al suprimir la fila número y la columna número
Esta definición se conoce como desarrollo del determinante por cofactores de la primera fila.
2 PROPIEDADES BÁSICAS DE LOS DETERMINANTES
Sea [ ]
2.2 se puede obtener mediante desarrollo por cofactores de cualquier filao columna
2
2.3 Si es la matriz idéntica de orden , entonces
2.4 =
2.5 Si es triangular, entonces es igual al producto de las entradas de la diagonal principal de la matriz: =Π
2.6 Si tiene una fila (columna) nula, entonces
2.7 Si tiene dos filas (columnas) iguales, entonces
2.8 Si en se permutan dos filas (columnas), entonces el determinante de la nueva matriz es igual a (– ) Es decir, () ( )
2.9 Si una fila (columna) de se multiplica por una constante entonces el determinante de la nueva matriz es . Esto es, ( )
2.10 Si , entonces
2.11 Si una fila (columna) de se cambia por ella más una combinación lineal de las demás filas (columnas) de , entonces el determinante de la nueva matriz coincide con
2.12 Si una fila (columna) de es múltiplo escalar de otra fila (columna) de ,entonces
2.13 Si una fila (columna) de es combinación lineal de las demás filas (columnas) de , entonces
2.14 es invertible si y sólo si
2.15 Si es una matriz cuadrada del mismo orden de , entonces
2.16 Generalización de lo anterior. Si son matrices cuadradas del mismo orden, entonces:
2.17 Si es invertible, entonces
Notación:
i. | |
ii. | | [ ]
3. EL DETERMINANTE Y LA MATRIZ ADJUNTA
3.1Matriz de cofactores
Sea [ ]. La matriz de cofactores de es: ̃ [ ]
La matriz de cofactores de denotada , ̃ es igual a la matriz que se obtiene sustituyendo cada entrada de , por su respectivo cofactor .
3.2 Matriz adjunta
Si es una matriz cuadrada de orden , se define la matriz adjunta de , como la transpuesta de la matriz de cofactores de : ( ̃)
3.3 TEOREMA
Si es una matriz cuadrada de orden, entonces =
3
Nótese que al multiplicar la matriz por su adjunta, se obtiene una matriz escalar: sus entradas por fuera de
la diagonal principal son nulas y sus elementos de la diagonal principal coinciden con el determinante de la
matriz .
Corolario
Si es una matriz cuadrada de orden e invertible, entonces =(
)
4. EJERCICIOS RESUELTOS
4.1 Evalúe el determinante de la matriz A .
1 1 1a b c
A b c a c a b
 
 
     
 
 
Solución
Usemos eliminación de Gauss:
13
1
1 1 1
P A b c a c a b A
a b c
 
 
     
 
 
1 DetA  DetA
21
31
( ( ))
1 ( ) 2
1 1 1
0 ( ) ( )
0 ( ) ( )
E b c
E a A a b a c A
b a c a
 

 
 
    
     
2 1 DetA  DetA Ya no es posible continuar el proceso de eliminación, pues noconocemos si
a b  0o si b a  0. Tampoco es necesario continuar con dicha eliminación. Por propiedades de
la función determinante,
2
( ) ( )
( ) ( )
a b a c
Det A Det
b a c a
   
  
   
.
Es fácil concluir que 2 Det A  0. En consecuencia, DetA  0.
4.2 Evalúe el determinante de la matriz A .
2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
(a b ) (a b )...