integrales

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

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Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

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Es constante,si el área está limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

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Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos
dA= dxdy
Situadosen una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES
Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región Adel plano xy, un elemento dm de masa será
dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11)
En donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular
a) la masa
M="" (x, y)dA; (12)
b) el primer momento de la masa respecto al eje x
Mx="" y (x, y)dA (13a)
c) su primer momento respecto al eje y,
My="" x(x, y)dA (13b)
de 12 y 13 sededuce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. Estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

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y el momentode inercia respecto al eje y es

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Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

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Esta última formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)
En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.
Observación 1.- Cuando una partícula demasa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v= r, su energía cinética es
½mv²=½mr²².
Si un sistema de partículas de masa m1,m2,…,mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular, siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

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donde

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Es el momento de inerciadel sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk.
Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de queesta animado esto

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Y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumirtrabajo para iniciar o detener su movimiento.
Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia...