INTEGRALES



INTEGRALES RACIONALES (MÉTODO DE HERMITE)
 
El método de Hermite es también para integrales en la forma de fracción:

Donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele utilizarse cuandoel grado de multiplicidad de los factores es alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso del método general nos obliga a realizar integrales extremadamente largas.
  Al igual queen el método general, en el método de Hermite se comienza por descomponer en factores irreducibles el polinomio q(x):

  Entonces según la fórmula de Hermite se tiene:

donde es el polinomio formadopor los mismos factores que q(x) pero elevados todos a un grado menos, es decir:

Mientras que es un polinomio con coeficientes indeterminados y de grado inferior en 1 al grado de.
NOTA : (Observeque en el método de Hermite, los factores dentro de las integrales siempre vienen elevados a 1, lo cual facilita mucho la integración. Lo que se convierte en más laborioso es el cálculo de todos loscoeficientes indeterminados)
  Ejemplo 17: Hallar por el método de Hermite la integral:

  Solución: El denominador q(x) ya aparece descompuesto en factores:

Ahora restando 1 al exponente de cada factorhallamos:

(x - 2) elevado a 0 equivale a la unidad, por tanto, es un polinomio de grado 3, lo que significa que  ha de ser un polinomio de grado 2 (inferior en 1 al grado de, como se ha dicho):

 De esta manera la fórmula de Hermite para esta integral es:

y ahora sólo nos queda determinar los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E. Para ello se derivan ambos miembros, teniendo en cuentaque la derivada de una integral es la función integrando:

 A continuación ponemos el denominador común en el miembro de la derecha, ese denominador debe coincidir siempre con el del miembro de laizquierda. Estos denominadores se cancelan:

 En esta expresión podemos ir dando distintos valores a x, por ejemplo, si x=2 obtenemos inmediatamente E = 7. Sucesivamente consideramos los valores...