Integrales

I NTEGRALES MÚLTIPLES
1) Calcular las siguientes integrales iteradas:
1

2


d)
 
a)

0 0
2 1
1

0

(x  y )

2

4

2

 
e)
 

( x  y )dydx

b)

dxdy

x

0 0
ln 2 ln 5

0

0

y dxdy

c)



 
0

2



0

2

sen ( x  y )dydx

e 2 x  y dxdy

2) Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)

1



x

2

1  x dydx

0 0

b)

2 2y y

 y
0 3

2

2

6 y

3 y dxdy

3) Escribir unaintegral para cada orden de integración y utilizando el más conveniente calcular
la integral sobre R. Dibujar la región R
a)

 xydA

R : rectángulo convértice s ( 0 ,0 )( 0 ,5 )( 3 ,5 )( 3 ,0 )

R

 ( xy

b)

2



R

c)

 senx
R

d)

 x

x

 ye

y

x

)dA

 senydA

y
2

R

e)

y

2

dA

dA

R : ( x , y ) / 2  x  3; 1  y  0 


R :   ,     0 ,




2

R : Triángulo acotado  por  y  x ; y  2 x ; x  2
R : región  triangular

 con  vértices ( 0 ,0 )( 2 ,4 )( 0 ,6 )

R

4) Determine el volumen de sólido dado
a) Bajo el paraboloide z  x 2  y 2 y encima de la región acotada por y  x 2 y x  y

2

b) Acotado por el cilindro y 2  z 2  4 y los planos x=2y ; x=0; z=0 en el primer octante
c) El sólido en el primer octante acotado por los planos 2x + y -4=0 y8x+ y -4z=0
d) El sólido acotado por los planos z=3, y=0, x=0, x=4 y el cilindro y  x
5) Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares
a)  y dA donde R es la región en el primer cuadrante acotada por el círculo x 2  y 2  9 y
R

las rectas y = x y=0.
b)  xy dA donde R es la región en el primer cuadrante que está entre los círculos
R

x

2

y

2

 4y x

2

y

2

 25

6)Calcular en coordenadas polares el área de una circunferencia de radio 3
7) Use coordenadas polares para calcular el volumen de:
a) El sólido bajo el cono z  x 2  y

2

sobre el plano XY y encima del anillo 4  x 2  y 2  25

b) El sólido acotado superiormente por el hemisferio z  16  x 2  y

2

e inferiormente por la

región circular R dada por x  y  4
2

2

8) Calcular el área de la porción delplano z  2  x  y situada encima del círculo x 2  y 2  1
en el primer cuadrante.
9) Calcular el área de la porción de la superficie z  y 2  4 x situada sobre la reg. triang. del
plano xy con vértices(0,0),(0,2) y (2,2)

10) Calcular el área de la superficie del paraboloide z  1  x 2  y 2 situado encima del cil.
x

2

2

y

4.

11) Una lámina con densidad  (x , y )  xy está acotadapor el eje X, la recta x=8 y la curva
y x

2/3

a) Calcule su masa total
b) Determine su centro de masa
c) Determine los momentos de inercia en torno a los ejes X,Y, Z
12) Hallar:
a)
c)

3

6

  
0 2
1

1 y

0

0

 

4
2

(x



2

2x
0

 yz )dz dy dx 

b)

x y z dz dx dy 

d)

1

x

0

0

1

y

  

x y
0

2

 y 
0

ln x
0

( x  y  z )dz dy dx 

ye z dz dx dy 

13) Escribaseis integrales triples iteradas distintas para el volumen del sólido rectangular en el
primer octante acotado por los planos coordenados y los planos x=1, y=2 y z=3. Evalúe una
de éstas integrales.
14) La siguiente es la región de integración de la integral 
como una integral iterada equivalente en el orden:

a.
b.
c.
d.
e.

1
1

1

x 
2

1y
0

dz dy dx . Escriba la integral

dy dz dx
dy dx dzdx dy dz
dx dz dy
dz dx dy

15) Determine el volumen de cada una de las siguientes integrales:
a) La región del cilindro z  y 2 y el plano XY que está acotada por los planos x=0, x=1 ,
y=-1, y=1 fig.1
b) La región del primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x+z=1 ,
y + 2z=2 fig2
c) La cuña definida en el cilindro x 2  y 2  1 por los planos z=-y y k z=0 fig 3
d) Eltetraedro del primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa
por los puntos (1,0,0), (0,2,0) y (0,0,3)

fig.1

fig.3

fig.2

fig.4

16) Determine el volumen de la región sólida acotada por arriba por el paraboloide
z  4  x 2  y 2 abajo por z=0 y lateralmente por y=0 y el cilindro x 2  y 2  2 x
17) Evalúe en coordenadas cilíndricas las siguiente integrales:

a)
b)

2

2 r...