IntegralesLineaSuperficie 1
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Publicado: 25 de mayo de 2015
3.3 INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE
(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)
1. Integrales de línea
F(ri)
Sea F un campo vectorial
Consideremos
∫
r2
Fgdr =
r1
∫
Si F es una fuerza
r2
r1
r1∫
2
1
Fgdr ≡
n
lim
∑ F (r )gdr
n→∞
i
r2
i
i=1
Fgdr = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a
r2.
Para resolver la integral es necesario parametrizar el camino
Ej.r2= (1, 1)
y
y= x2
r1= (0, 0)
c:
x=t
0 ≤ t ≤ 1
y = t2
x
Sea
F = xy iˆ + 3xˆj
∫
r2
r1
Fgdr =
∫ (t iˆ + 3t ˆj )g( iˆ + 2t ˆj ) dt = ∫ (
1
1
3
0
0
1
)
t4
1
9
t + 3t dt = + 2t 3 = +2 =
4
4
4
0
3
2
r = xiˆ + y ˆj = t iˆ + t 2 ˆj
dr = dxiˆ + dy ˆj = dt iˆ + 2tdt ˆj = iˆ + 2t ˆj dt
(
w=
∫
r2
r1
Fgdr ⇒
∫
t2
t1
f (t)dt =
9
4
)
al parametrizar la integral se convierteen una integral
con respecto al parámetro.
t2
dr
dr
Si t es el tiempo, Fg
es la potencia y ∫ Fg dt es el trabajo.
t1
dt
dt
Si consideramos otro camino
y
r2= (1, 1)
y= x
(
( )
∫ Fgdr = ∫ ( x iˆ +3x ˆj )g( iˆ + ˆj ) dx = ∫ ( x
r = xiˆ + y ˆj = x iˆ + ˆj
r2
1
r1
0
2
)
dr = iˆ + ˆj dx
1
0
2
)
+ 3x dx
1
x 3 3x 2
1 3 11
= +
= + =
3
2 0 3 2 6
r1= (0, 0)
x
1
Diferente camino ⇒diferente resultado
Si escogemos otra parametrización: x = y = et
( ln1 ≡ 0) ( e
−∞ < t ≤ ln1
(
0
) dr = e ( iˆ + ˆj ) dt
∫ Fgdr = ∫ ( e iˆ + 3e ˆj )ge ( iˆ + ˆj ) dx = ∫ ( e + 3e ) dt
F = e2t iˆ + 3etˆj r = et iˆ + ˆj
r2
ln1
r1
−∞
2t
t
)
=1
t
ln1
t
3t
2t
−∞
1
e3t 3e2t
=
+
3
2
=
0
1 3 11
+ =
3 2 6
De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemosla
más fácil y no algo como
( ))
x = y = sen t 2
0 ≤ t ≤ sen −11
∫
Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas
r2
r1
Fgdr no depende del
camino.
⇒ Para F conservativa (estoes si F = ∇φ para alguna φ).
[Nos adelantamos y decimos que ∇φ =
∂φ ˆ ∂φ ˆ
i+
j
∂x
∂y
∂φ
∂φ ˆ
∂φ
∂φ
∇φ gdr = iˆ +
j g dxiˆ + dyˆj =
dx +
dy = dφ
∂y
∂x
∂y
∂x
(
∫
r2
r1
Fgdr =
∫
r2...
(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)
1. Integrales de línea
F(ri)
Sea F un campo vectorial
Consideremos
∫
r2
Fgdr =
r1
∫
Si F es una fuerza
r2
r1
r1∫
2
1
Fgdr ≡
n
lim
∑ F (r )gdr
n→∞
i
r2
i
i=1
Fgdr = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a
r2.
Para resolver la integral es necesario parametrizar el camino
Ej.r2= (1, 1)
y
y= x2
r1= (0, 0)
c:
x=t
0 ≤ t ≤ 1
y = t2
x
Sea
F = xy iˆ + 3xˆj
∫
r2
r1
Fgdr =
∫ (t iˆ + 3t ˆj )g( iˆ + 2t ˆj ) dt = ∫ (
1
1
3
0
0
1
)
t4
1
9
t + 3t dt = + 2t 3 = +2 =
4
4
4
0
3
2
r = xiˆ + y ˆj = t iˆ + t 2 ˆj
dr = dxiˆ + dy ˆj = dt iˆ + 2tdt ˆj = iˆ + 2t ˆj dt
(
w=
∫
r2
r1
Fgdr ⇒
∫
t2
t1
f (t)dt =
9
4
)
al parametrizar la integral se convierteen una integral
con respecto al parámetro.
t2
dr
dr
Si t es el tiempo, Fg
es la potencia y ∫ Fg dt es el trabajo.
t1
dt
dt
Si consideramos otro camino
y
r2= (1, 1)
y= x
(
( )
∫ Fgdr = ∫ ( x iˆ +3x ˆj )g( iˆ + ˆj ) dx = ∫ ( x
r = xiˆ + y ˆj = x iˆ + ˆj
r2
1
r1
0
2
)
dr = iˆ + ˆj dx
1
0
2
)
+ 3x dx
1
x 3 3x 2
1 3 11
= +
= + =
3
2 0 3 2 6
r1= (0, 0)
x
1
Diferente camino ⇒diferente resultado
Si escogemos otra parametrización: x = y = et
( ln1 ≡ 0) ( e
−∞ < t ≤ ln1
(
0
) dr = e ( iˆ + ˆj ) dt
∫ Fgdr = ∫ ( e iˆ + 3e ˆj )ge ( iˆ + ˆj ) dx = ∫ ( e + 3e ) dt
F = e2t iˆ + 3etˆj r = et iˆ + ˆj
r2
ln1
r1
−∞
2t
t
)
=1
t
ln1
t
3t
2t
−∞
1
e3t 3e2t
=
+
3
2
=
0
1 3 11
+ =
3 2 6
De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemosla
más fácil y no algo como
( ))
x = y = sen t 2
0 ≤ t ≤ sen −11
∫
Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas
r2
r1
Fgdr no depende del
camino.
⇒ Para F conservativa (estoes si F = ∇φ para alguna φ).
[Nos adelantamos y decimos que ∇φ =
∂φ ˆ ∂φ ˆ
i+
j
∂x
∂y
∂φ
∂φ ˆ
∂φ
∂φ
∇φ gdr = iˆ +
j g dxiˆ + dyˆj =
dx +
dy = dφ
∂y
∂x
∂y
∂x
(
∫
r2
r1
Fgdr =
∫
r2...
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