Interpolacion De Newton En Matlab

M´todos Num´ricos e e

1.

Aplicar el M´todo de la Secante para cale cular las ra´ ıces del polinomio p(x) = x6 + 6x − 6
El algoritmo utilizado para correr este ejercicio es el siguiente:

function y=secante(f) fx=sym(f); plot(-5:0.001:5,subs(fx,-5:0.001:5)) grid on x0=input(’Ingrese el primer valor: ’); x1=input(’Ingrese el segundo valor: ’);x2=x1-subs(fx,x1)*(x1-x0)/(subs(fx,x1)-subs(fx,x0)); while abs(x2-x1)>0.000001 x0=x1; x1=x2; x2=x1-subs(fx,x1)*(x1-x0)/(subs(fx,x1)-subs(fx,x0)); end y=(x2+x1)/2; disp(y) repet=input(’Desea volver a ingresar? s/n: ’, ’s’); if repet==’s’ secante(f); end end Entonces se define a la funci´n en la consola de Matlab e ingresamos en o la funci´n de la siguiente manera: o >> p=’x^6+6*x-6’ p = x^6+6*x-6 >> x=secante(p) Ingrese el primer valor: 1Como se observ´ en el algoritmo del programa, lo que nos dar´ primero o a es la gr´fica de la funci´n ingresada, la cual se muestra a continuaci´n: a o o

Y como se observ´ tambi´n nos pide los valores posibles de x, donde o e existen los ceros de la funci´n, que se muestran a continuaci´n. o o Ingrese el primer valor: 1 Ingrese el segundo valor: 1.5 0.9071 Desea volver a ingresar? s/n: sIngrese el primer valor: -1 Ingrese el segundo valor: -1.5 -1.5785 Desea volver a ingresar? s/n: n

2

x = 0.9071

Estos valores fueron ingresado de acuerdo a lo que se observ´ en la gr´fica, o a y por eso los resultados finales reales obtenidos son x1 = 0,9071 x2 = −1,5785

2.

La ecuaci´n e−2x sin x + 2 = 0, tiene una soo luci´n en el intervalo [-1,0]. Utilice la teor´ o ıa deInterpolaci´n de Newton en los nodos o x0 = −1, x1 = −0,5, x1 = 0, para encontrar ˆ una soluci´n aproximanda x de la ecuao ci´n. Estime el error cometido o

Como dato se tiene los valores de xk , por lo tanto se procede a encontrar los valores de f (xk ), de la siguiente manera: >> syms x >> f(x)=exp(-2*x)*sin(x)+2 f(x) = exp(-2*x)*sin(x) + 2 >> f(-1) ans = 2 - exp(2)*sin(1)

3

>> double(f(-1))ans = -4.2177 >> double(f(-0.5)) ans = 0.6968 >> double(f(0)) ans = 2

De acuerdo a estos datos se tiene los siguientes valores iniciales: x -1 -0.5 0 y -4.2177 0.6968 2 Los cuales se definen en matrices en Matlab y se ingresan en el Programa llamado Int_Newton, de la siguiente manera: >> X=[-1 -0.5 0] X = -1.0000 -0.5000 0

>> Y=[-4.2177 0.6968 2] Y = -4.2177 0.6968 2.0000

4

>>[R,G]=Int_Newton(X,Y) R = (9829*x)/1000 - (36113*(x + 1)*(x + 1/2))/5000 + 56113/10000 y la gr´fica es: a

Como se puede notar, es una funci´n bastante aproximada a la original, o evalundo la ra´ en el intervalo pedido se tiene: ız >> f(x) ans = exp(-2*x)*sin(x) + 2 5

>> p1(x)=(9829*x)/1000-(36113*(x+1)*(x+1/2))/5000+56113/10000 p1(x) = (9829*x)/1000 - ((36113*x + 36113)*(x + 1/2))/5000 +56113/10000 >> solve(f(x)) ans = -0.61885117432200084027859094103655 >> solve(p1(x)) ans = 5879062401^(1/2)/144452 - 10049/144452 - 5879062401^(1/2)/144452 - 10049/144452 >> double(solve(p1(x))) ans = 0.4612 -0.6004 >> (-0.61885117432200084027859094103655( -0.6004))/-0.61885117432200084027859094103655 ans = 0.0298 >> ans*100 ans = 2.9815 Entonces los resultados en ese intervalo son 6

x =−0,61885117432200084027859094103655 x = −0,6004 ˆ El error cometido es el siguiente: −0,61885117432200084027859094103655 − −0,6004 x−x ˆ ∗ 100 = ∗ 100 = x −0,61885117432200084027859094103655 2,9815%

3.

Resolver el sistema AX = B
 1 1 1 A =  10 18 12  20 22 40   7 b=  48  144 

Por: Eliminaci´n de Gauss, Gauss-Jordan, Deso composici´n LU y compare sus resultados o
Se definen las matrices dela siguiente manera: >> A=[1 2 1;10 18 12;20 22 40] A = 1 10 20 2 18 22 1 12 40

>> b=[7;48;144] b = 7 48 144 Se utiliz´ el siguiente algoritmo de la eliminaci´n de Gauss: o o

7

function C=gauss(A,B) [a b]=size(A); D=[A B]; %D=[A’;B]’;SI B ES MATRIZ FILA for j=1:a-1 [MAX POS]=max(D(j+1:a,j)); %if bb==0 %error(’La matriz es singular’) %end D=intercambiar(D,j,POS+j); for i=j:b if i~=j...