Interpolacion y ajuste de curvas

Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías


Actividad integradora.
Módulo 5: Interpolación y ajuste de curvas
Mtra. María Elena Olivares Pérez
Análisis Numérico I
Secc. D01

Equipo: Simpson T4
Integrantes.
Cervantes Bizarro, Ana Rosa.
Figueroa Castañeda, Lorena Nathali
Navarro Briones, Miria Rubí.
Ulloa Villanueva, Elia Raquel.
ÍNDICEIntroducción 3
Aproximación polinomial simple. 4
Lagrange 8
Newton en diferencias divididas 11
Newton en diferencias finitas 12
Mínimos cuadrados 13
Conclusiones 17
Referencia bibliográfica 17
 
INTRODUCCIÓN.
La empleación de métodos numéricos es una estrategia muy favorable cuando nos encontramos ante un problema matemático que resulta ser muy complicado resolver por métodosanalíticos. En el presente escrito se pretende resolver un problema de aplicación a la ingeniería química utilizando métodos numéricos de interpolación (Simple, Lagrange, Newton en diferencias divididas, Newton en diferencias finitas, Mínimos cuadrados) y de esta manera poder comparar cada uno de los métodos, sus ventajas y desventajas así como la precisión que tienen éstos en relación al resultado realobtenido por medios analíticos.
El problema a resolver es el siguiente:
(1)Se alimenta vapor a 10bar y 370°C de sobrecalentamiento a una turbina, a la velocidad de 2000kg/h. La turbina opera adiabáticamente y el flujo de salida es vapor saturado a 1bar, T=99.6 y con un Ĥ=2673.2kJ/kg
Calcule ΔĤ y el trabajo.
We = mΔĤ
ΔĤ = Ĥf – Ĥi370
i 0 1
2 3
X T °C 300 350 400 450
Y ΔĤ 3052 3159 3264 3371

 
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE.
Fórmulas
Polinomio de grado 1 (Ecuación de la recta)
P(x) = ao +ax1
y1= ao +a1x1 ò ■(1&x1@1&x2) ■(ao@a1) = ■(y1@y2)
y2= ao +a1x2
Polinomio de grado 2 (Ecuación de la Parábola)
P2(x)= ao +a1x+a2x2
y1= ao +a1x1 +a2x2
y2= ao +a1x2 +a2x22ó ■(1&x1&x1^2@1&x2&x2^2@1&x3&x3^2 ) ■(a0@a1@a2) = ■(y1@y2@y3)
y3= ao +a1x3 +a2x22
Polinomio de grado 3
P3(x)= ao +a1x+a2x2+a3x3
y1= ao +a1x1 +a2x2+a3x3
y2= ao +a1x2 +a2x2+a3x3
y3= ao +a1x3 +a2x2+a3x3
y4= ao +a1x4 +a2x2+a3x3

 
APLICADO AL EJEMPLO.
Polinomio de grado 1 (Ecuación de la recta)
P(x) = ao +ax13159= ao +a1350 ò ■(1&350@1&400) ■(ao@a1) = ■(3159@3264)
3264= ao +a1400
a0= 2424
a2=2.1
P(x) = 2424 +1.8x1
P (370) = 2a24+1.8(370) =3201






Polinomio de grado 2 (Ecuación de la Parábola)
P2(x)= ao +a1x+a2x2
3159=ao +a1350 +a23502
3264= ao +a1400 +a24002 ó ■(1&350&〖350〗^2@1&400&〖400〗^2@1&450&〖450〗^2 ) ■(a0@a1@a2) = ■(3159@3264@3371)3371= ao +a1450 +a24502
a0= 2480
a2= 1.8
a3= 4x10-4
P2(x)= ao +a1x+a2x2
P2(x)= 2480+1.8x+4x10-4x2
P2 (370)= 2480+1.8(370)+4x10-4(3702) = 3200.76




Polinomio de grado 3 (tomando todos los puntos de la tabla)

P3(x)= ao +a1x+a2x2+a3x3
3052=ao +a1300 +a23002+a33003
3159= ao +a1 350 +a23502+a33503
3264= ao +a1 400 +a24002+a340033371= ao +a1 450 +a24502+a34503
A0= 2106
a1=1.2
a2=6x10-4
a3=1.22x10-5
P3(x)= ao +a1x+a2x2+a3x3
P3(x) = 2106 +1.2x+6x10-4x2+1.22x10-5x3
P3 (370) = 2106 +1.2(370)+6x10-43702+1.22x10-53703 = 3250.1066

 
LAGRANGE
Existen otros métodos de aproximación polinomial en que no se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales y los cálculos se realizan directamente, entre ellos seencuentra el de aproximación polinomial de Lagrange.

Ecuación de la línea recta – Polinomio de primer grado

P(x)=a_0 (x-x_1 )+a_1 (x-x_0)

Formula directa:

P(x)=(x-x_1)/(x_0-x_1 ) f(x_0 )+(x-x_0)/(x_1-x_0 ) f(x_1 )

Ecuación de la parábola – Polinomio de segundo grado

P_2 (x)=a_0 (x-x_1 )(x-x_2 )+a_1 (x-x_0 )(x-x_2 )+a_2 (x-x_0 )(x-x_1 )

Formula directa:

P_2 (x)=((x-x_1...