Intervalo de confianza

Las técnicas de estimación pretenden dar un valor aproximado a un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra.

La estimación se divide en dos técnicas:

La estimación puntual La estimación por intervalo de confianza

Un estadístico cuyos valores se utilizan para “estimar” un parámetro  ˆ desconocido, se llama estimador (  ) del parámetro.

Elestimador es una variable aleatoria función de la muestra y para un mismo parámetro pueden existir varios estimadores puntuales diferentes.

Para comparar la “bondad” de dos estimadores y afirmar que uno es mejor que otro se utiliza el criterio del error cuadrático medio (ECM)
ˆ ˆ ˆ ECM= E (   ) 2 =V(  ) + [E(  ) -  ] 2

Propiedades o los criterios de un buen estimador:
InsesgabilidadEficiencia

Un “buen” estimador

Consistencia

Suficiencia

ˆ

Insesgabilidad

ˆ El termino E( ) -  se llama el sesgo (puede ser positivo, negativo o nulo)
ˆ

ˆ Se dice que un estimador  es insesgado si el sesgo es igual a cero. ˆ Es decir si E( )=

ˆ E( ) =

 E( ˆ ) ≠ 

El parámetro  se localiza en la media de la distribución muestral

El parámetro  no selocaliza en la media de la distribución muestral

ˆ

Algunos estimadores insesgados comunes:

ˆ

ˆ

Eficiencia

ˆ ˆ Sean ˆ1 y  2 dos estimadores de θ. Se dice que ˆ1es más eficiente que  2 si V( ˆ ) < V( ˆ2 ) .
1

El criterio de eficiencia complementa el de insesgabilidad.
ˆ V (1 ) Eficiencia relativa= ˆ V ( )
2

ˆ ˆ 1 y  2 son estimadores insesgados de θ

Si elcociente es inferior a 1 entonces ˆ1 es más eficiente que ˆ2

ˆ

Consistencia (convergente en probabilidad)

Al aumentar el tamaño de la muestra , se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población.

Aumenta n

El estimador converge en probabilidad al valor del parámetro que intenta estimar las condiciones se cumplen

ˆˆ Cuando lim n E( )   y lim n V ( )  0

La consistencia es una propiedad de muestras grandes

ˆ

Suficiencia Un estimador es suficiente, cuando utiliza toda la información contenida en la muestra con respecto a θ

ˆ

Consiste en obtener dos valores que permiten construir un rango o banda dentro del cual se supone que estará el parámetro en estudio, con un nivel deprobabilidad establecido.

Se define una probabilidad de que el parámetro pertenezca a dicho intervalo:

ˆ ˆ P( 1     2 )= 1-α
n muestras igual tamaño

La probabilidad 1-α (o γ ) se llama coeficiente (o nivel) de confianza.

intervalo de confianza para c/u

100*(1-α) de estos intervalos contenga el valor del parámetro desconocido
θ queda en el intervalo con una confianza del 100*(1-α).Al tener un solo intervalo [ ˆ1 , ˆ2 ]

ˆ

X  Z 1 / 2


n

con Z ~ N(0,1)

Se puede aplicar esta fórmula cualquiera sea el tamaño de la muestra.

ˆ

El gerente de la división de bombillas de la WWW debe estimar el promedio de horas que durarán los focos producidos por cada máquina. Fue elegida una muestra de 40 focos de la máquina A y el tiempo promedio de funcionamientofue de 1416 horas. Se sabe que la desviación estándar del tiempo de duración es 30 horas. a. Calcule el error estándar de la media b. Construya un intervalo de confianza del 90% para la media de la población DATOS:

n=40

X  1416

=30

1- 0,9

a.

30 x    4,7434 n 40



b. Construya un intervalo de confianza del 90% para la media de la población

x 


n

 4,7434X  1416

1-0,9 Nivel de confianza

1-0,9=0,1 Nivel de significancia  =0,1
/2 0,1/2=0,05 5%

5%

90%
1-0,9

5%
x2 Z2

-∞

x1 Z1
1-/2 1-0,05=0,95

∞+

X  Z1 / 2


n

Con esta probabilidad se busca Z en la tabla de la distribución normal estandarizada.
0,95

z 1,64 1,65

G(z) 0,94950 0,95053

. En este caso se toma el Z cuya probabilidad se...