Intervalos

Estimación.
Intervalos de Confianza para la Media
y para las Proporciones

Algunas secciones han sido tomadas de:
Apuntes de Estadística Inferencial
Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Estimación
El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto
es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere
generalizar las conclusiones hacia el total dedicha población. Como
vimos en la sección anterior, los estadísticos pueden variar mucho
dentro de sus distribuciones muestrales. Mientras menor sea el error
estándar de un estadístico, más cercanos serán sus valores. El Error
estandard podríamos expresarlo conceptualmente como el error que se
puede cometer al intentar conocer a una población por medio de una
muestra tomada de dichapoblación.
Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por
intervalo.
intervalo
• Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para
estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.
•Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho
finito, que se espera que contenga el parámetro.

Estimación por Intervalos
Un estimado puntual,por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo
información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.
Por ejemplo, imagine que se usa la media de una muestra x para estimar
(estimador puntual) la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de
cierta marca y suponga que x = 9322.7.
Debido a la variabilidad de la muestra, casi nunca se tendrá el caso de que
x = μ. Elestimador puntual nada dice sobre lo cercano que esta de μ. Una
alternativa para reportar el valor del parámetro que se esté estimando es
calcular un intervalo de valores factibles, es decir un límite de confianza o
intervalo de confianza (IC).

Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un
nivel de confianza, que es una medida del grado de confiabilidad en elconfianza
intervalo. Entonces, en el ejemplo anterior, si queremos un nivel de
confianza de 95% diríamos que es posible tener cualquier valor de m
entre 9162.5 y 9482.9.
Todo está muy bien, pero
¿cómo sabemos estos
valores?

Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de las muestras daría
lugar a un intervalo que incluye m o cualquier otro parámetro que se
esté estimando, y sólo 5% de lasmuestras producirá un intervalo
erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el
valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo.

Si, por ejemplo, queremos tener un nivel de confianza de 95% (lo
cual es muy común), entonces usamos la distribución normal
estándar y encontramos los valores que incluyen a 95% del área.

Distribution Plot
Normal, Mean=0,StDev=1
0.95

0.4

Density

0.3

0.2

0.1

95% del área. 0.0

-1.96

0
z

1.96

En el siguiente ejemplo, tomado de una simulación efectuada con
Minitab (Macro GMeanCI, de www.duxbury.com)
se “crean” 100
muestras (n = 9) de una población con μ = 80 y σ = 5. Para 95% de
confianza, 95 de los 100 intervalos calculados contienen a μ.
95% Confidence Intervals for the Mean
200Confidence Intervals

150

100
True mean

50

0

1

10

20

30

40
50
60
Interval Number

70

80

90

100

Los intervalos que no contienen al valor de μ están marcados en rojo.

Intervalos de confianza para la media
Supongamos que la estatura de los niños de 2 años está distribuída
normalmente con una media de 90 cm y una desviación estándar de 36
cm. ¿Cuálsería la distribución muestral de la media para una muestra de
tamaño 9? Recordemos que la media de una distribución muestral de
medias es igual a μ :

μ = μx
Y el error estándar
es:

σm =

σ
n

Para nuestro ejemplo, la distribución muestral de la media tendría una
media de 90 y una desviación estándar de 36/3 = 12. Recordemos que la
desviación estándar de una distribución...