Investigacion

Semana 15 [1/23]

Series de potencias

November 10, 2007

Series de potencias

Series numéricas

Semana 15 [2/23]

Definiciones

Serie de potencias
Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma ak (x − α)k . Nos concentraremos en el caso α = 0. Ejemplo: xk.

Series de potencias

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Semana 15 [3/23]

Definiciones

Serie depotencias
Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma ak (x − α)k . Nos concentraremos en el caso α = 0. Ejemplo: xk.

Series de potencias

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Semana 15 [4/23]

Definiciones

Serie de potencias
Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma ak (x − α)k . Nos concentraremos en el caso α = 0. Ejemplo: xk.Series de potencias

Series numéricas

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Definiciones

Proposición
k Si la serie ak x0 converge, se tiene que para cada a ∈ (0, |x0|) y para todo ak x k converge absolutamente. x ∈ [−a, a] la serie

Series de potencias

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Semana 15 [6/23]

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergencia
Al valor R = sup x0 :
k ak x0 < +∞ ,

lollamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie vale +∞ en otro caso. Una forma de calcular R:
1 1 = lim |an | n . R

ak x k .

ak x k diverge y

Series de potencias

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Semana 15 [7/23]

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergencia
Al valor R = sup x0 :
k ak x0 < +∞ ,

lollamaremos el radio de convergencia de la serie de potencias Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie vale +∞ en otro caso. Una forma de calcular R:
1 1 = lim |an | n . R

ak x k .

ak x k diverge y

Series de potencias

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Semana 15 [8/23]

Radio e intervalo de convergencia

Radio de convergencia
Al valor R = sup x0 :
k ak x0 < +∞ ,

lo llamaremos elradio de convergencia de la serie de potencias Este valor es finito si existe algún x para el cual la serie vale +∞ en otro caso. Una forma de calcular R:
1 1 = lim |an | n . R

ak x k .

ak x k diverge y

Series de potencias

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Radio e intervalo de convergencia

Intervalo de convergencia
Llamamos intervalo de convergencia I al conjunto de realesx para los cuales la serie ak x k converge. Tenemos que (−R, R) ⊆ I ⊆ [−R, R].

Series de potencias

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Semana 15 [10/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias podemos definir: f : I −→ R

ak x k con intervalo de convergencia I,

x −→ f (x) =

ak x = lim

k

n n→∞ k =0

ak x k .

Teorema
Sea cero. ak x k una serie de potencias con radio deconvergencia mayor que La función f asociada es continua en int(Dom f ). Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Semana 15 [11/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias podemos definir: f : I −→ R

ak x k con intervalo de convergencia I,

x −→ f (x) =

ak x = lim

k

n n→∞ k =0

ak x k .

Teorema
Sea cero. ak x k una serie depotencias con radio de convergencia mayor que La función f asociada es continua en int(Dom f ). Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Semana 15 [12/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias podemos definir: f : I −→ R

ak x k con intervalo de convergencia I,

x −→ f (x) =

ak x = lim

k

n n→∞ k =0

ak x k .

Teorema
Sea cero.ak x k una serie de potencias con radio de convergencia mayor que La función f asociada es continua en int(Dom f ). Con esto, f es integrable.

Series de potencias

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Semana 15 [13/23]

Integración y derivación

Dada una serie de potencias podemos definir: f : I −→ R

ak x k con intervalo de convergencia I,

x −→ f (x) =

ak x = lim

k

n n→∞ k =0

ak x k ....