Isoclina

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521218
Problema 2. (Gu´ıa N3)
Determine la curva quepasa por (2, 5) y verifica que el segmento de la recta tangente (a ella)
que se encuentra entre los ejes coordenados se divide en el punto de tangencia en partes iguales.

De acuerdo a la figura el P VI a resolver es

(P )

y ′ (x) = −
y(2) =

5

y¯
x¯

Sabemos que AB = BC = l, entonces

sen(α) =

y
y¯
=
l
2l

cos(α) =

x¯
x¯ − x
1
=
⇒ x = x¯
l
2l
2

As´ı

⇒ y = 12 y¯

y¯
y
= y por tanto el PVI aresolver es
x¯
x

(P )

y ′ (x) = −
y(2)

= 5.

y
x

Sin resolver, hagamos un an´alisis de como son las curvas integrales.
En general, las isoclinas asociadas al problema
y ′(x) = f (x, y)

(1)

sonel lugar geom´etrico de los puntos en los cuales las tangentes a las curvas integrales buscadas
(o curvas soluci´on de la EDO) se mantienen constante, esto es, si ik = ik (x) es una k−isoclinaasociada a (1), entonces f (x, ik (x)) = k.
As´ı, las k−isoclinas ik (x) asociadas a la EDO y ′ = − xy , son tales que
−

ik (x)
= k
x

de donde se obtiene que ik (x) = −kx
Por ejemplo, para k = 1 se obtienei1 (x) = −x; para k = −1 se obtiene i−1 (x) = x , etc.

Veamos si existen isoclinas que sean curvas integrales para el problema dado. As´ı, supongamos
que la isoclina ik sea una curva integral delproblema; se debe tener entonces que
i′k (x) = −

(−kx)
ik (x)
⇔ −k = −
x
x
⇔ 2k=0

pero para k = 0,

.
ik (x) = i0 (x) ≡ 0

que ”a vista” se ve que es soluci´on de la EDO dada. Observe que de loanterior sigue que no
pueden existir curvas integrales que intersecten la recta y = 0.
Por u
´ ltimo, de f (x, y) = − xy . vemos que las regiones de existencia y unicidad excluyen a x = 0
y las curvasintegrales en el primer cuadrante son decrecientes, en el segundo cuadrante son
creciente, etc. Finalmente, observe adem´as que la curva y = 0 se comporta como una asintota
para las curvas integrales en...