Isometria

Isometrias−J.nb

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Isometrías
Práctica de ÁlgebraLineal, E.U.A.T., Grupos 1ºA y 1ºB, 2005
Una isometría es un tipo especial de aplicación lineal: es una aplicación lineal que "mueve las cosas rígidamente". Precisamente, una aplicación lineal f de un espacio vectorial V en V es una isometría cuando, para cualesquiera vectores u,v de V, se cumple que = (trataremos siempre con el productoescalar usual). Como se ha visto en teoría, esto significa que una isometría no "deforma" las cosas; puede girarlas en torno a un punto o una recta, reflejarlas, o las dos cosas a la vez, pero no puede, por ejemplo, "aplastarlas". En esta práctica vamos a construir algunas isometrías; es decir, vamos a dar la matriz que las representa, de forma que podamos dar la imagen por la isometría de cualquiervector que queramos. Lo haremos de una forma u otra dependiendo del tipo de isometría. Sólo trataremos las isometrías en dos y tres dimensiones (en R2 y en R3), que son las que podemos imaginar más fácilmente. Para entender esta práctica es necesario entender bien la práctica sobre aplicaciones lineales.

Matrices ortogonales
La matriz de una isometría en una base ortonormal tiene una propiedadcuriosa: su inversa es igual que su traspuesta. La matrices que cumplen esto se llaman matrices ortogonales. Cuando calculemos la matriz en la base usual de varias isometrías en los apartados siguientes,podréis comprobar que son verdaderamente matrices ortogonales.

Isometrías en el plano
Una rotación
Para hablar de rotaciones siempre tomaremos los ángulos en radianes: un ángulo de t radianescorresponde a t*360/(2*Pi) grados. Por ejemplo, Pi radianes son 180º (media vuelta), Pi/3 radianes son 60º... La matriz de una rotación (siempre con respecto al origen, ya que aquí tratamos sólo con aplicaciones lineales, para las que f(0)=0) es muy simple. Si el ángulo de la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, es t (en radianes), entonces su matriz es
In[1]:=rotacion={{Cos[t],−Sin[t]},{Sin[t],Cos[t]}};

MatrixForm[rotacion]
Out[2]//MatrixForm=

Cos t Sin t

Sin t Cos t

Desde luego, para hallar la matriz de una rotación en el sentido de las agujas del reloj no hay más que tomar t negativo. Por ejemplo, la matriz de una rotación de ángulo Pi/3 (en radianes) es:

Isometrias−J.nb

2

In[3]:= t

Pi 3; rotacion
1 2 3 2 3 2 1 2

MatrixFormOut[4]//MatrixForm=

Desde luego, usando la matriz podemos calcular la imagen de cualquier punto:
In[5]:= rotacion. 2, 5

Out[5]=

1

5 2

3

,

5 2

3

Comprobamos que la matriz de la rotación es ortogonal:
In[6]:= Inverse rotacion Out[6]= True

Transpose rotacion

Podemos dibujar la imagen de unos cuantos puntos para convencernos de que de verdad es una rotación (lo siguiente essólo para poder ver bien qué es lo que hace la rotación):
In[7]:= puntos Out[7]=

1, 0 ,

.5, 1 , 1.5,

.5 , 1.5, .5 , 0.5,

.5, 1 ,

1 , 1, 0

1, 0

1, 0 ,

0.5, 1 , 1.5,

0.5 , 1.5, 0.5 ,

In[8]:= dibujo

ListPlot puntos, PlotJoined

True, AspectRatio

Automatic

1 0.5 -1 -0.5 -0.5 -1
Out[8]=

0.5

1

1.5

Graphics

Isometrias−J.nb

3

In[9]:= ListPlotTable rotacion.puntos

PlotJoined

True, AspectRatio

i , i, 1, 6 Automatic

,

1.5 1 0.5 -1 -0.5 -0.5 0.5 1

Out[9]=

Graphics

Una simetría
Queremos encontrar la matriz de una simetría S con respecto a una recta. Por ejemplo, tomemos la recta 3x−y=0. Un vector director (un vector a lo largo de la recta) es por ejemplo (1,3), y como lo que hace una simetría el plano es "reflejar"sobre la recta de la que se trate, vemos que S(1,3) = (1,3) (porque la recta no se mueve). Por otra parte, un vector perpendicular a la recta es (3,−1) (cualquier vector perpendicular a (1,3) vale, claro). Como los vectores pependiculares a la recta se reflejan, sabemos que S(3,−1)=(−3,1). Con esto ya sabemos la matriz de S en la base {(1,3),(3,−1)}.Es
In[10]:= matriz1 Out[10]=

Transpose 1...