Isomorfismos

TAREA DE ISOMORFISMOS


1. a) Sea V el espacio vectorial que contiene a todos los números reales positivos cuya suma vectorial se corresponde con elproducto usual, y cuya multiplicación por un escalar es . Encontrar un isomorfismo T : V→R.
b) Sea V el espacio vectorial que contiene a todas las parejasordenadas de números reales bajo las operaciones de suma y producto por escalar definidas por y . Encontrar un isomorfismo T : V→R2.

2. Sea B una matriz deinvertible. Define por . Demuestre que es un isomorfismo.

3. Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos y supóngase que existeun isomorfismo T de V sobre el conjunto de vectores con tres componentes complejas. Sean , , , vectores en V tales que , , ,
a. ¿Está en elespacio generado por y ?
b. Hallar una base del subespacio generado por los cuatro vectores , , , .
4. Sea N una matriz de dimensión y nilpotente (esdecir, para algún k). Demostrar que definida por es un isomorfismo. [Sugerencia: Si , demostrar que ].

5. Sean p, m y n enteros positivos y F uncampo. Sean V el espacio de las matrices de sobre F y W el espacio de las matrices de sobre F. Sea B una matriz de dada y sea T la transformación lineal deV en W definida por . Demostrar que T es invertible si y sólo si y B es una matriz de invertible.

6. Constrúyase un isomorfismo de V a donde .

7.Si k es cualquier número, se define por
a) Demuestre que T es invertible si .
b) Repetir lo mismo para . ¿Es posible generalizar este resultado?