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Y RECTA NORMAL A UNA CURVA
Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1
Definición
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva esdiferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si es punto de unafunción f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina rectanormal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

Recta tangente a una curva en un punto
Dificultad:
La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.
El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podránencontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos.
La recta y=m⋅x+b es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos:
1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a))
2.Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia: m=f ′ (a)




Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:
y−f(a)=f ′ (a)⋅(x−a)
Nota: Siempre se encontraran tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.
Además, la rectatangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.

Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de laparábola azul representa la velocidad instantánea.
Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto.
El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que esadelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo
Encuentre la recta tangente a f(x)=sinx en x=π .
a) Se buscan las coordenadas del punto de tangencia P :
f(π)=0 P=(π,0)
b) Se encuentra la derivada de f(x) en x=π :
f ′ (x)=cosx f ′ (π)=−1
Tenemos ya el pendiente de la recta tangente.
Entonces, se escribe
y−0=−1⋅(x−π)y=π−x
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola f(x)=x 2 −5x+6 y paralela a la recta 3x+y−2=0
a) Se escribe la recta de la siguiente forma:
y=−3s+2
Dado que la tangente que se quiere encontrar será paralela a esta recta, tendrá una pendiente m=−3
b) Sólo falta encontrar el punto de tangencia (a,f(a)) , es decir, el punto en el que la parábola tendrá una derivada...