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NÚMERO REAL




Introducción


A lo largo de nuestra vida nos hemos ido encontrando con algunas estructuras numéricas. Seguramente el lector conoce desde hace mucho tiempo a los naturales a los enteros y a los racionales; así como también las diferencias entre ellas y las necesidades no cubiertas por una estructura que hacen necesario lacreación de la siguiente.

¿Cuáles son las insuficiencias de los racionales que hacen necesario presentar una nueva estructura algebraica? Intentemos plantear una de ellas.


Consideramos un cuadrado de lado 1 (una unidad cualquiera) y pretendemos “medir” una de
sus diagonales tomando al lado como unidad. Si existiese tal medida en Q ( a la cual
llamaremos L) porPitágoras cumpliría:

[pic]

[pic] con p y q enteros primos entre si. ( en otras palabras si L es un
racional se puede escribir como una fracción irreducible)

[pic]

Por lo tanto si existiese un racional [pic] que midiera exactamente la diagonal de un cuadrado de lado 1 tendríamos que:p es par, q es par, p y q enteros primos entre si. Lo cual es contradictorio.

En consecuencia no existe ningún racional que elevado al cuadrado sea 2 y por lo tanto los racionales no nos permiten medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Es inecesario resaltar la importancia que tiene disponer de una estructura con la cual poder medir cualquier longitud uotra magnitud escalar. Hemos presentado una de las incapacidades de los racionales; no la única. Elegimos esta por ser la de mayores consecuencias desde el punto de vista histórico.

“Los Pitagóricos enamorados de los números enteros creyeron que todas las cosas podían derivarse de ellos, empezando por todos los demas números. Se produjo una crisis en esta doctrina cuando descubrieron quela raíz cuadrada de 2 (La razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado) era irracional, es decir que [pic] no puede expresarse de modo preciso como la razón de dos enteros determinados por grandes que fueran estos números.


Este descubrimiento se llevó a cabo utilizando irónicamente como herramienta el teorema de Pitágoras. Irracional significaba en principio que un número no podíaexpresarse como una razón (cociente) Pero para los Pitagóricos llegó a suponer algo amenazador, un indicio de que su concepción del mundo podía carecer de sentido, lo cual es la otra acepción que tiene hoy la palabra irracional” (COSMOS de Carl Sagan)




Para cubrir esta como otras carencias de los racionales presentemos a los números reales. Para ello existen fundamentalmente doscaminos: El constructivo; crear a los naturales, a partir de ellos a los enteros, luego a los racionales y a partir de estos últimos generar a los números reales. El otro camino consiste en crear directamente a los reales siendo los naturales, los enteros y los racionales subestructuras de los reales.


Esta última opción es la que trabajaremos en esta asignatura; la primera será vista, porlo menos parcialmente, en "Matemática Básica".

Cualquiera de los dos caminos implican la utilización del método axiomático. No desarrollaremos aquí las características de este método por exceder la longitud de este trabajo y además tratarse en las otras asignaturas especiales; tanto en "Geometría I" como en "Matemática Básica". Corriendo el riesgo de caer en una simplificación excesivadiremos que: El método axiomático consiste en la aceptación de algunas proposiciones como válidas (que llamaremos axiomas), sin necesidad de demostración, y la deducción del resto de las proposiciones de la teoría a partir de estos.

La característica imprescindible que debe cumplir un sistema axiomático es la consistencia; la no contradicción de las proposiciones tomadas como axiomas...