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Derivada parcial
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud es función de diversas variables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el ejez.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Índice
1 Introducción
2 Ejemplos
3 Definición formal
4 Notación
4.1 Termodinámica
5 Derivadas parciales de orden superior
6 Véase también
7 Enlacesexternos
Introducción
Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,



Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.
Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito delíneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.


Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratarlas otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico,descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
Ejemplos


El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)
Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con lafórmula

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

Otro ejemplo, dada la función tal que:

la derivada parcial de respecto de es:

mientras que con respecto de es:

Definición formal
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el puntoa = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

O visto respecto a la derivada direccional:

donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva ().
Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces lafunción no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.
Notación
Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

Termodinámica
En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:...