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Binomial Negativa
Probabilidad I 12 de octubre de 2005
∞

Proposici´n. o
n=r

n−1 r−1

pr (1 − p)n−r = 1.

Demostraci´n. Inducci´n sobre r. o o r=1 En ´ste caso tenemos ladistribuci´n geom´trica con par´metro p, por lo que e o e a

∞

n=1

n−1 p(1 − p)n−1 = 1−1

∞

∞

p(1 − p)n−1 = p
n=1 n=0

(1 − p)n = p

1 p = = 1. 1 − (1 − p) p

Suponemosque el resultado es verdadero para r
∞

Suponemos entonces que
n=r

n−1 r−1

pr (1 − p)n−r = 1. Simplifiquemos un poco antes de hacer

el paso inductivo:
∞

1 =
n=r ∞

n−1 r−1pr (1 − p)n−r

= = =

(n−1)! pr (1 − p)n−r (r−1)!(n−r)! n=r ∞ (n−1)! pr (1 − p)n−r (r−1)! (n−r)! n=r ∞ (n+r−1)! pr (1 − p)n . (r−1)! n! n=0

Entonces podemos cambiar nuestrahip´tesis de inducci´n (HI ) suponiendo que o o
∞

n=0

(n + r − 1)! (r − 1)! (1 − p)n = n! pr 1

(1)

y demostrar que la ecuaci´n (1) es verdadera para r + 1. o Por demostrar que (1) esv´lida para r + 1 a Hay que demostrar que
∞

n=0

(n + r)! r! (1 − p)n = r+1 n! p

(2)

Veamos, tenemos que
∞ n=0 ∞ n=0 ∞

(n+r)! (1 n!

− p)n = =
HI

(n + r) (n+r−1)! (1− p)n n! n (n+r−1)! (1 − p)n + r n! n (n+r−1)! (1 n! − p) +
n ∞ n=0 r (r−1)! pr (n+r−1)! (1 n!

− p)n (3)

n=1 ∞

=

n=1 ∞

=
n=1 ∞

n (n+r−1)! (1 − p)n + n!

r! prTrabajemos ahora con
n=1 ∞ n=1

n (n+r−1)! (1 − p)n . Tenemos que n!
∞ n=1 ∞ n=0 d = −(1 − p) dp HI d = −(1 − p) dp

n (n+r−1)! (1 − p)n = (1 − p) n! = (1 − p)

n (n+r−1)! (1 − p)n−1 n!
d− dp ∞ (n+r−1)! (1 n! (n+r−1)! (1 n!

− p)n − p)n (4)

n=0 (r−1)! pr

r! = (1 − p) pr+1 . d ( dp denota la derivada con respecto a p). Insertando (4) en (3) obtenemos ∞ n=0 (n+r)! (1n! r! − p)n = (1 − p) pr+1 + r! pr

= =

(1−p)r!+p(r!) pr+1 r! pr+1

(5)

y por lo tanto hemos demostrado (2), lo que implica que la proposici´n es verdadera! o

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