La entrevista de trabajo

Sucesiones y series

 
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe un (en vez de u(n)), la imagende n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).



Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.
Definición explícita
La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un esuna función de n: un = f(n).
Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales.
Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:
• Si f tiendehacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π•x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
• Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un (si es positivo, u crece), o comparando la fracciónun+1/un con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.
• En algunos casos, la función f que aparece en un = f(n) no puede extenderse a . Es el caso si definimos un como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Funciónde Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.
Definición implícita
La definición es implícita cuando un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.
Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n•un-1. Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 loque necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.
Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.
Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.
La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción.
Cuando el término general un sólo depende del término anterior, un-1, es decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o; lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo
En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal uo y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f.Como u1 = f(uo), la ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener u1 en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite leer el valor de u1. A partir de ahí el proceso se repite igual, puesu2 = f(u1)

Definición de convergencia de una sucesión:
Se dice que una sucesión {a(n)} converge al número L, y se escribe
lim a(n) = L
n Infinito
si para todo >0, por pequeño que sea, existe un M>0 tal que |a(n)-L|< para todo n>M.
Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman convergentes y las demás se llaman divergentes.


Definición de Series infinitas:
Si {an}es...