La integral definida

1

ξ 1 Integral superior e integral inferior
Consideremos una función real f : [ a, b ] → IR, de dominio el intervalo cerrado y

acotado [ a, b ] y acotada en este intervalo. Esto significa que existen números reales m, M tales que ∀x ∈ [ a, b ] , m ≤ f ( x ) ≤ M . Podemos considerar

m = inf { f ( x ) : x ∈ [ a, b ]}

y

M = sup { f ( x ) : x ∈ [ a, b ]} .Escribiremos simplemente

m= inf f

y

M=sup f

en [ a, b ] .

Particiones de un intervalo

Una partición del intervalo

[ a, b] es

un subconjunto finito P ⊂ [ a, b ] tal que

a∈ P y b∈ P Cuando escribamos P = {t0 , t1 ,..., tn } supondremos siempre que a = t0 < t1 < ... < tn = b .
Los intervalos P = {t0 , t1 ,..., tn } .
Suma superior , suma inferior de Riemann y suma de Riemann de una función acotada f: [ a, b ] → IR, con respecto a una partición P de un intervalo [ a, b ] Definimos:
S ( f ; P ) = M 1 ( t1 − t0 ) + ... + M n ( tn − tn −1 ) = ∑ M i ( ti − ti −1 )
i =1 n

[ti −1 , ti ] , i = 1,..., n

les llamaremos los intervalos de la partición

s ( f ; P ) = m1 ( t1 − t0 ) + ... + mn ( tn − tn −1 ) = ∑ mi ( ti − ti −1 )
i =1

n

σ ( f ; P; C ) = f ( c1 )( t1 − t0 ) + ... + f ( cn)( tn − tn −1 ) = ∑ f ( ci ) M i ( ti − ti −1 )
i =1

n

Donde

Gustavo Avello Jofré, Departamento de Matemática UdeC. M i = sup { f ( t ) : t ∈ [ti −1 , ti ]} ,
mi = inf { f ( t ) : t ∈ [ti −1 , ti ]} , C = {c1 ,..., cn } para i ∈ {1,..., n} . Si m = inf f ci ∈ [ti −1 , ti ]

2

y M = sup f

en [ a, b ] . Se tiene:

m ( b − a ) ≤ s ( f ; P ) ≤ σ ( f ; P; C ) ≤ S ( f ; P ) paratoda partición P del intervalo [ a, b ] ,

y para todo subconjunto C = {c1 ,..., cn } de [ a,b ] con ci ∈ [ti −1 , ti ]

NOTACIÓN

P[a ,b] denotará al conjunto de todas las particiones del intervalo [ a, b ]
OBSERVACIÓN 1) Cuando f : [ a, b ] → IR, es una función continua y positiva , las sumas
S ( f ; P) y

s ( f ; P)

pueden ser interpretadas como sumas de áreas de rectángulos unosinscritos

y los otros circunscritos al gráfico de f , respectivamente ; y por lo tanto como valores aproximados( por defecto y por exceso) del área entre ese gráfico y el eje de las abscisas. 2) Si P, Q ∈ P[a ,b] y

f : [ a, b ] → IR, es acotada se tiene:

P ⊂ Q ⇒ s ( f ; P) ≤ s ( f ;Q)
P ⊂ Q ⇒ S ( f ;Q) ≤ S ( f ; P)

3) Si P, Q ∈ P[a ,b] se tiene: s ( f ; P ) ≤ S ( f ; Q )

La integralsuperior y la integral inferior de Riemann
Sea f : [ a, b ] → IR, de dominio el intervalo cerrado y acotado [ a, b ] y acotada en este intervalo. Se define:

Gustavo Avello Jofré, Departamento de Matemática UdeC.

3

∫f
a

b

= inf S ( f ; P ) : P ∈ P[a ,b]

{

} }

∫f
a

b

= Sup s ( f ; P ) : P ∈ P[a ,b]

{

Definición de función integrable en el sentido de RiemannSea f : [ a, b ] → IR, de dominio el intervalo cerrado y acotado [ a, b ] y acotada en este intervalo. Diremos que f es integrable en el sentido de Riemann en el intervalo [ a, b ] si existe un número real I talque lim σ ( f ; P; C ) = I
P →0

Lo cual significa que Para todo número ε > 0 , existe un número δ > 0 tal que σ ( f ; P; C ) − I < ε para toda partición

C = {c1 ,..., cn } de [ a,b ]con ci ∈ [ti −1 , ti ] . Notación Si f ∈ R [ a, b ] el número real I de la definición precedente se llama la integral de f sobre el intervalo [ a, b ] y se denota de cualesquiera de las siguientes formas

P ∈ P[a ,b]

tal

que

P 0, ∃P ∈ P[a ,b] tal que S ( f ; P ) − s ( f ; P ) < ε

Corolario:
1) Si es f : [ a, b ] → 2) Si f : [ a, b ] → acotada y si f ∈ R [ a, b ] , entonces laintegral I = ∫ f es el
b b

único número real I tal que ∀P ∈ P [ a, b ] , s ( f , P ) ≤ I ≤ S ( f , P )

es continua sobre [ a, b ] entonces f es integrable sobre [ a, b ]

Ejemplo1
Use el corolario precedente para probar que

∫ xdx = 2 ( b
a

b

1

2

− a2 )

Gustavo Avello Jofré, Departamento de Matemática UdeC. Teorema 2 ( Regla de Chasles) Si f : [ a, b ] → f [ a, c ] y
c...