La Paradoja De Russell Y Otras


La previa de la paradoja

Russell, Frege y la paradoja

Gottlob Frege, matemático y lógico alemán, se había propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica y darle así la más sólida de las bases. Dicho programa había de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definirían los conceptos matemáticos en función de lalógica para después, en el segundo, demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica.

Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, con la que creía haber dado por fin, mediante la teoría de conjuntos, solución a la fundamentación lógica de la matemática. De hecho el libro estaba terminándoseprácticamente de imprimir cuando Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que el inglés le explicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia de la matemática:

La paradoja del barbero (Russell)

En un lejano poblado de un antiguo emirato había unbarbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas).
Cierto día el emir llamó a As-Samet paraque lo afeitara y él le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con lamano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.
Otro fin dice que al no saber que hacer simplemente el barbero se lanzo por la borda.



"Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...”.



Laexplicación matemática
La paradoja de Russell consiste en lo siguiente: si consideramos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, ¿está ese conjunto contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
Esto que parece un galimatías puede explicarse de una forma algo másclara. Imaginemos una biblioteca que contiene un número determinado de libros. Algunos de estos libros son relaciones de otros que se encuentran en la biblioteca; los llamaremos catálogos. Por ejemplo, habrá un catálogo que contenga una relación de todos los libros de matemáticas, otro que contenga los poemarios, otro las biografías, etc. Consideramos el conjunto de todos esos catálogos y lodenominamos de tipo A; serán catálogos de libros que no se incluyen a sí mismos. Un catálogo de libros de poesía no es un libro de poesía, y por lo tanto es autoexcluyente, y será del tipo A.
Ahora vamos a considerar como otro conjunto un catálogo general que contenga todos los catálogos de la biblioteca. Lo denominaremos de tipo B. La función de este catálogo es dar una lista de todos los catálogos detipo A. Todo parece correcto, pero si lo vemos detenidamente el conjunto que recoge todos los catálogos del tipo A es paradójico. ¿No se ve con claridad? Podemos verlo mejor si formulamos la siguiente pregunta ¿El catálogo general es del tipo A o del tipo B? Si es del tipo A entonces no se incluye a sí mismo, porque como hemos dicho, los catálogos del tipo A son autoexcluyentes (libros que...