La Seccio Auria y El Nombre d'Or
Páginas: 8 (1861 palabras)
Publicado: 12 de septiembre de 2011
La secció àuria i el nombre d’or
La secció àuria. és una relació particularment estètica, de la que se n’ha fet un ampli ús en el món de la proporció artística. Entre altres, la trobem en el pentàgon i el decàgon regular, així com en els cossos platònics (poliedres).
Històricament, la definició de la secció àuria apareix al llibre VI, definició 3, d’Els Elements d’Euclides (segle IV aEC),mentre que la demostració de la forma de trobar-la apareix en el llibre II, proposició 11. Abans que Euclides, el matemàtic grec Eudoxo de Cnido (408 aEC-355 aEC) va definir la secció (àuria) com la divisió d’una línia recta en raons extrema i mitja[1].
Dit d’una altra forma: Es tracta de dividir un segment AB per un punt intermig P de manera que AP sigui la mitjana proporcional entre elssegments AB i BP[2], és a dir, [pic].
A P B
Si diem [pic], queda l’equació [pic] que podem resoldre deixant com incògnita la proporció [pic]
[pic]
Aquesta darrera expressió és bén fàcil de recordar.
Deixem de banda expressions mnemotècniques i busquem-ne el valor de Φ
[pic][pic]
Òbviament, atenent a la natura del problema, només és vàlida la soluciópositiva[pic], expressió numèrica que rep el nom de nombre d’or.
Es pot observar fàcilment que es compleix la igualtat
[pic]
A partir d’aquí deduirem dues expressions recurrents de Φ. Primerament, si fem l’arrel quadrada d’aquesta expressió obtenim:
[pic]
A dins del radical, podem tornar a substituir Φ una altre cop pel radical, obtenint:
[pic]
Per obtenir una segona fórmularecurrent de Φ, partim altre cop de (*)
[pic]
Si ara substituim el valor de Φ de l’última expressió de forma recurrent, obtenim[pic]
Repetint reiteradament aquest procés obtindríem (2):
[pic]
que és una expressió de Φ en forma de fracció contínua.
És ben curiós el fet que si en aquestes dues expressions (1) i (2) de Φ, a la part dreta de l’equació, en contes de Φ posem “qualsevol”altre valor pel qual es puguin fer els càlculs, el resultat final també dóna Φ.
Per comprovar-ho empíricament, definim les successions recurrents
[pic].
Agafem-ne, per exemple, [pic]. Aleshores les successions seran:
[pic]
Agafem ara [pic]
[pic]
Provem ara amb un valor negatiu, per exemple, [pic]
[pic]
Òbviament, si agafem [pic] tindríem que ambdues successions serien duessuccessions constants amb tots els termes iguals a Φ.
Empíricament, sembla que en tots els casos ambdues successions convergeixen cap a un valor a prop de 1’618...
Centran-nos ara en la successió [pic]. Observem que segons el valor del terme inicial tenim:
|[pic] |comportament de [pic] |
|-0’1 |monòtona creixent ||1 |monòtona creixent |
|Φ |constant |
|10 |monòtona decreixent |
Per la successió [pic]la taula resum és:
| |comportament de [pic] |
|[pic] ||
| |termes senars |termes parells |
|-0’1 |monòtona creixent |monòtona decreixent a partir de [pic]que és el primer terme |
| ||parell positiu |
|1 |monòtona creixent |monòtona decreixent |
|Φ |constant |constant |
|10 |monòtona de decreixent...
La secció àuria. és una relació particularment estètica, de la que se n’ha fet un ampli ús en el món de la proporció artística. Entre altres, la trobem en el pentàgon i el decàgon regular, així com en els cossos platònics (poliedres).
Històricament, la definició de la secció àuria apareix al llibre VI, definició 3, d’Els Elements d’Euclides (segle IV aEC),mentre que la demostració de la forma de trobar-la apareix en el llibre II, proposició 11. Abans que Euclides, el matemàtic grec Eudoxo de Cnido (408 aEC-355 aEC) va definir la secció (àuria) com la divisió d’una línia recta en raons extrema i mitja[1].
Dit d’una altra forma: Es tracta de dividir un segment AB per un punt intermig P de manera que AP sigui la mitjana proporcional entre elssegments AB i BP[2], és a dir, [pic].
A P B
Si diem [pic], queda l’equació [pic] que podem resoldre deixant com incògnita la proporció [pic]
[pic]
Aquesta darrera expressió és bén fàcil de recordar.
Deixem de banda expressions mnemotècniques i busquem-ne el valor de Φ
[pic][pic]
Òbviament, atenent a la natura del problema, només és vàlida la soluciópositiva[pic], expressió numèrica que rep el nom de nombre d’or.
Es pot observar fàcilment que es compleix la igualtat
[pic]
A partir d’aquí deduirem dues expressions recurrents de Φ. Primerament, si fem l’arrel quadrada d’aquesta expressió obtenim:
[pic]
A dins del radical, podem tornar a substituir Φ una altre cop pel radical, obtenint:
[pic]
Per obtenir una segona fórmularecurrent de Φ, partim altre cop de (*)
[pic]
Si ara substituim el valor de Φ de l’última expressió de forma recurrent, obtenim[pic]
Repetint reiteradament aquest procés obtindríem (2):
[pic]
que és una expressió de Φ en forma de fracció contínua.
És ben curiós el fet que si en aquestes dues expressions (1) i (2) de Φ, a la part dreta de l’equació, en contes de Φ posem “qualsevol”altre valor pel qual es puguin fer els càlculs, el resultat final també dóna Φ.
Per comprovar-ho empíricament, definim les successions recurrents
[pic].
Agafem-ne, per exemple, [pic]. Aleshores les successions seran:
[pic]
Agafem ara [pic]
[pic]
Provem ara amb un valor negatiu, per exemple, [pic]
[pic]
Òbviament, si agafem [pic] tindríem que ambdues successions serien duessuccessions constants amb tots els termes iguals a Φ.
Empíricament, sembla que en tots els casos ambdues successions convergeixen cap a un valor a prop de 1’618...
Centran-nos ara en la successió [pic]. Observem que segons el valor del terme inicial tenim:
|[pic] |comportament de [pic] |
|-0’1 |monòtona creixent ||1 |monòtona creixent |
|Φ |constant |
|10 |monòtona decreixent |
Per la successió [pic]la taula resum és:
| |comportament de [pic] |
|[pic] ||
| |termes senars |termes parells |
|-0’1 |monòtona creixent |monòtona decreixent a partir de [pic]que és el primer terme |
| ||parell positiu |
|1 |monòtona creixent |monòtona decreixent |
|Φ |constant |constant |
|10 |monòtona de decreixent...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.