La Seccion Aurea Y La Construccion De Poligonos Regulares

Geometría Euclídea Plana
Primer Cuatrimestre 2010

El pentágono regular y el número de oro
1. El decágono regular y el número de oro 2. Construcción del pentágono y decágono regulares 3. El número de oro y su relación con el arte y la naturaleza 4. Ejercicios 1 2 3 4

1. El decágono regular y el número de oro
En este apunte estudiamos la construcción del pentágono regular inscripto en unacircunferencia de radio ������ dado, o equivalentemente la del decágono regular, ya que una se obtiene fácilmente a partir de la otra.
 Se atribuyen a la escuela Pitagórica (unos 500 años a.C.) las primeras descripciones de construcciones de polígonos regulares inscriptos en una circunferencia, entre las que se cuentan las del pentágono y decágono. En el apunte de construcciones mencionamos lascondiciones necesarias y suficientes de Gauss y Wantzel sobre cuáles son los polígonos constructibles 1 con regla y compás. 5 = 22 + 1 es un primo de Fermat, el próximo es 17 y la construcción del polígono regular correspondiente es muy complicada.

Prácticamente todas las construcciones parten de la relación entre el decágono regular y el número de oro, √ 1+ 5 ������ = = 1,6180339 . . . 2
Muchas veces se usa la letra ������ en vez de ������, en honor a Fidias de Atenas (aprox. 490 a.C.–431 a.C.).

Para ver esta relación, dividamos al decágono en 10 triángulos partir del origen de la circunferencia circunscripta, y observemos que el ángulo central ∠ ������ ������������ en la figura 1 mide 36∘ (el ángulo central ∠ ������������������ correspondiente al pentágono mide 72∘ ). Entonces, enel triángulo isósceles ������ ������������, los ángulos en ������ y en ������ son iguales y miden 72∘ (= (180∘ − 36∘ )/2). Si ahora ������ es la intersección de la bisectriz del ángulo ∠ ������ ������������ con ������������ , resulta ∠ ������ ������������ = 72∘ /2 = 36∘ , de modo que ∠ ������ ������ ������ = 180∘ − 36∘ − 72∘ = 72∘ y el triángulo ������ ������������ es isósceles. Por semejanza,������ ������ ������ ������ = . ������ ������ ������������

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El pentágono regular y el número de oro

������ ������

������

������

������ ������

������

������

Figura 1: pentágono y decágono inscriptos en una circunferencia. Siendo ������������ el radio ������ de la circunferencia, la longitud ������ del lado del decágono satisface la ecuación ������ − ������ ������ = ,������ ������ o, equivalentemente ������2 + ������������ − ������ 2 = 0. Esta ecuación tiene dos raíces, √ −1 ± 5 ������ = ������, 2 √ una positiva y otra negativa. La que nos interesa es la positiva, ������ ( 5 − 1)/2, pues ������ representa la longitud de un segmento. Es decir, en el triángulo ������������ ������, la relación entre los lados es el número de oro: √ √ ������������ ������ 2 2 5+1 1+ 5 = =√ . =√ ×√= ������ ������ ������ 2 5−1 5−1 5+1 (1)

2. Construcción del pentágono y decágono regulares
Consideremos una circunferencia con centro ������ y radio ������ = ������������ , como en la figura 2. Si ������ es el punto medio de un radio perpendicular a ������������ , el segmento √ ������������ mide 5 ������/2 por el teorema de Pitágoras. Trazando la circunferencia con centro ������ y radio������������ (que mide ������/2) obtenemos dos puntos, ������ y ������ con ������ * ������ * ������ , √ comunes a esta circunferencia y la recta ������ ������, y el segmento ������������ mide ( 5 − 1) ������/2, la longitud del lado del decágono inscripto. Tomando esta longitud como radio de una nueva circunferencia con centro en ������ , construimos los puntos ������ y ������ sobre la circunferencia original. Elsegmento ������������ es el lado de un pentágono regular inscripto en la circunferencia original, mientras que el segmento ������������ (o ������ ������) es el lado de un decágono regular inscripto en esa circunferencia. La construcción del pentágono (o decágono) se concluye transportando la longitud correspondiente sucesivamente a partir de ������.
 En el ejercicio...