La trisecci n del ngulo es uno de los problemas cl sicos de la geometr a griega
Páginas: 3 (527 palabras)
Publicado: 30 de junio de 2015
La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la geometría griega (consistente en construir un ángulo que mida un tercio de la medida de otro ángulo dad) que no se puede realizar, engeneral, con regla y compás. Y digo “en general” porque la cuestión es que algunos ángulos sí son “trisecables” con regla y compás y otros no (depende de si el coseno de dicho ángulo es o no raíz deun polinomio de grado una potencia de 2).
El caso es que los ángulos que no cumplen la condición anterior no son “trisecables” con regla y compás, siempre que respetemos totalmente las normas de lasconstrucciones de la antigua Grecia, pero sí lo son si suavizamos un poco nuestras exigencias. Vamos a ver cómo.
En lo que sigue vamos a ver un procedimiento para trisecar un ángulo cualquiera que seamenor de 90º. Como el de 90º sí es trisecable (y, por cierto, de manera muy sencilla como veremos más adelante), podremos así trisecar cualquier ángulo entre 0º y 360º.
Comenzamos con unasemicircunferencia de centro O y radio R y un ángulo \alpha inscrito en ella que la corta en el punto A, como se puede ver en la siguiente imagen:
Ahora tomamos una regla y marcamos en ella dos puntos, B y C, queestén a distancia R:
Apoyamos la regla en A y colocamos el punto B en el eje X de forma que el punto C quede apoyado en la circunferencia, tal que así:
Uniendo ahora el punto C con el centro O (conun segmento que medirá R por ser el radio de la semicircunferencia), tenemos que el triángulo BCO (en verde) es isósceles, por lo que los ángulos CBO y COB son iguales (los llamamos ):
Vamos adenotar el resto de ángulos que nos interesan. El triángulo COA también es isósceles, por lo que los ángulos OAC y OCA, que llamaremos , son iguales. Llamando ahora al ángulo COA y y al BCO tenemos lasituación siguiente:
De todo esto podemos sacar algunas relaciones evidentes entre los ángulos. Por ejemplo,
También se tiene que y que , de donde se deduce que . Por otra parte, también tenemos...
El caso es que los ángulos que no cumplen la condición anterior no son “trisecables” con regla y compás, siempre que respetemos totalmente las normas de lasconstrucciones de la antigua Grecia, pero sí lo son si suavizamos un poco nuestras exigencias. Vamos a ver cómo.
En lo que sigue vamos a ver un procedimiento para trisecar un ángulo cualquiera que seamenor de 90º. Como el de 90º sí es trisecable (y, por cierto, de manera muy sencilla como veremos más adelante), podremos así trisecar cualquier ángulo entre 0º y 360º.
Comenzamos con unasemicircunferencia de centro O y radio R y un ángulo \alpha inscrito en ella que la corta en el punto A, como se puede ver en la siguiente imagen:
Ahora tomamos una regla y marcamos en ella dos puntos, B y C, queestén a distancia R:
Apoyamos la regla en A y colocamos el punto B en el eje X de forma que el punto C quede apoyado en la circunferencia, tal que así:
Uniendo ahora el punto C con el centro O (conun segmento que medirá R por ser el radio de la semicircunferencia), tenemos que el triángulo BCO (en verde) es isósceles, por lo que los ángulos CBO y COB son iguales (los llamamos ):
Vamos adenotar el resto de ángulos que nos interesan. El triángulo COA también es isósceles, por lo que los ángulos OAC y OCA, que llamaremos , son iguales. Llamando ahora al ángulo COA y y al BCO tenemos lasituación siguiente:
De todo esto podemos sacar algunas relaciones evidentes entre los ángulos. Por ejemplo,
También se tiene que y que , de donde se deduce que . Por otra parte, también tenemos...
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