Laberinto

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MATEMATICAS I.
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ELIFALET LOPEZ GONZALEZ.

1. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
1.1. N´ meros reales y la recta num´rica. El sistema de los n´meros reales es un
u
e
u
sistema de n´meros que contiene a los n´meros racionales. El sistema de los num´ros R
u
u
e
reales tiene definidas las operaciones (binarias) adici´n y producto (tambi´n conicidas
o
e
como suma y multiplicaci´n) cumplelas siguiente propiedades:
o
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

Si x, y ∈ R, entonces x + y ∈ R (Cerradura en la suma).
Si x, y ∈ R, entonces x + y = y + x (Conmutatividad en la suma).
Si x, y, z ∈ R, entonces x + (y + z ) = (x + y ) + z (Asociatividad en la suma).
Existe 0 ∈ R de manera que 0 + x = x = x + 0 para todo x ∈ R (Neutro
aditivo).
Para cada x ∈ Rexiste un elemento −x tal que x + (−x) = 0 = (−x) + x
(Inverso aditivo).
Si x, y ∈ R, entonces xy ∈ R (Cerradura en la multiplicaci´n).
o
Si x, y ∈ R, entonces xy = yx ∈ R (Conmutatividad en la multiplicaci´n).
o
Si x, y, z ∈ R, entonces x(yz ) = (xy )z (Asociatividad en la multiplicaci´n).
o
Existe 1 de manera que 1x = x = x1 para cualquier x ∈ R (Neutro multiplicativo).
Para cada x ∈ Rexiste un elemento x−1 tal que xx−1 = 1 = x−1 x (Inverso
multiplicativo).
Si x(y + z ) = xy + xz , entonces (Distributividad de la multiplicaci´n en la
o
suma).
Si x, y ∈ R, entonces se cumple s´lo una de estas: (Tricotom´
o
ıa).
x < y,

(13)
(14)
(15)
(16)

x = y,

x > y.

Si x, y, z ∈ R, x < y y y < z , entonces x < z (Transitividad).
Si x, y, z ∈ R y x < y , entonces x + z < y+ z (Monoton´ en la suma).
ıa
Si x, y, z ∈ R, x < y y 0 < z , entonces xz < yz (Monoton´ en la multiplicaci´n).
ıa
o
Si E ⊂ R es un conjunto no vac´ acotado superiormente en R, entonces E
ıo
tiene supremo en R (Axioma del supremo).

Un conjunto no vac´ en el cual se tengan definidas dos operaciones (binarias) con las
ıo
propiedades anteriores, se llama campo ordenado. El ultimo axiomaes el que distingue
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a R de otros campos ordenados como Q.
1

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ELIFALET LOPEZ GONZALEZ.

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1.2. Soluci´n de ecuaciones y desigualdades. Una ecuaci´n es una declaraci´n
o
o
o
que expresa la igualdad de dos expresiones matem´ticas. Una ecuaci´n tiene un signo
a
o
igual, una expresi´n del lado derecho y una expresi´n del lado izquierdo.
o
o
Resolver una ecuaci´n significaencontrar todos los posibles valores de las variables
o
de tal manera que al sustituirlas en la ecuaci´n de la igualdad.
o
Ejemplo 1.1. 3x + 4 = 2x + 5: el lado izquierdo de la ecuaci´n es la expresi´n 3x + 4
o
o
y el lado derecho es 2x + 5.
Ejemplo 1.2. 2x + 3y = 2 − 2x: ecuaci´n de dos variables x e y .
o
Soluciones de una ecuaci´n.
o
Si sustituimos x por 1 en la ecuaci´n 3x + 4 = 2x +5, se obtiene
o
Lateral izquierdo: 3x + 4 = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7.
lado derecho: 2x + 5 = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7.
Desde la sustituci´n de x = 1 en la ecuaci´n da una verdadera declaraci´n 7 = 7,
o
o
o
decimos que 1 da la soluci´n o ra´ de la ecuaci´n dada 3x + 3 = 2x + 4. El conjunto
o
ız
o
de todas las soluciones de una ecuaci´n se llama el conjunto soluci´n de la ecuaci´n.
o
o
oPara resolver una ecuaci´n es encontrar todas sus soluciones.
o
Ecuaciones equivalentes.
Las ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Las siguientes dos ecuaciones son equivalentes, ya que tienen la misma soluci´n x = 0.
o
−3x + 2 = x + 2
−3x = x
x=0
Las propiedades de los n´meros reales enunciadas nos permiten realizar operaciones
u
de despeje paraencontrar soluciones de algunas ecuaciones.
Ejemplo 1.3. Resolver la f´rmula
o
P = 2L + 2W
de W.
Teniendo en cuenta
P = 2L + 2W
primero aislar el t´rmino que contiene W : sumamos
e
−2L
a ambos lados de la ecuaci´n de
o
P − 2L = 2L + 2W − 2L.
Simplificar para obtener
P − 2L = 2W.

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MATEMATICAS I.

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Divide ambos lados por 2 para obtener W .
W = (P − 2L)/2.
Ejemplo 1.4. Resolver...