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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Distancia entre dos puntos Consideremos los puntos del plano: A = (x1 ; y1 ) y B = (x2 ; y2 ) Queremos determinar la distancia entre A y B valiéndonos de sus coordenadas. Si unimos estos puntos con un segmento, la distancia entre A y B es la medida de la longitud del segmento AB.

Si dibujamos rectas paralelas a los ejes que pasen por los puntos y llamamosP a su intersección, queda determinado el triángulo rectángulo APB, cuya hipotenusa es el segmento AB. Además P = (x2 ; y1). Llamemos:
  

|AB| a la longitud de la hipotenusa AB |PB| a la longitud del cateto PB |AP| a la longitud del cateto AP
2 2 2

Por el teorema de Pitágoras, tenemos: |AB| = |AP| + |PB| Ahora bien, |PB| = |y1 - y2 | (el valor absoluto de la diferencia entre lasordenadas de P Y B). Y |AP| = |x1 – x2 | (el valor absoluto de la diferencia entre las abscisas de A y P) Reemplazando en |AB| = |AP| + |PB| es |AB| = |x1 – x2| + |y1 – y2 | = (x1 – x2) + (y1 – y2 )
2 2 2 2 2 2 2 2

Recordar que 2 2 |a| = a

Si extraemos la raíz cuadrada positiva y llamamos d(A; B) a la distancia entre A y B, es:

d( A ;B )  ( x 1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2

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Conviene recordar que la distancia entre dos puntos del plano es siempre un número mayor o igual que cero Podemos ahora calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano. Ejemplo 1. Calcular la distancia entre P = (1; 4) y Q = (-2; 1) Solución Por la fórmula que encontramos podemos escribir:

d(P; Q)  (x 1x 2 ) 2 ( y1  2 ) 2 y Tomando las coordenadas de P con subíndice 1 y las de Q con subíndice 2, es:
d(P; Q)  (1 (  )) 2 ( 4 1) 2 2  (3 ) 2 ( 3) 2  18
Como

18  2  9  29 3 2
Luego la distancia entre P y Q es d(P;Q) = 3 2 (propiedad distributiva de la radicación respecto a la multiplicación)

Ejemplo 2. Calcular la distancia entre A = (-3; 4) y B = (6; 4) Solución Usamosnuevamente la fórmula

d( A ; B )  ( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 y tomando las coordenadas de A con subíndice 1 y las de B con subíndice 2, es:
d( A ; B )  (  6 ) 2 (4 4 ) 2 3  ( ) ( 0 ) 9  81  9
Por lo que d(A; B) = 9 En el ejemplo anterior los puntos A = (-3; 4) y B = (6; 4) están sobre la recta de ecuación y = 4, por lo que la distancia entre los puntos es igual al valor absoluto dela diferencia de sus abscisas. d(A; B) = |-3 - 6| = |-9| = 9
2 2

En general


Si los puntos están ubicados sobre el eje x o en una recta que sea paralela a ese eje, la distancia entre los puntos es igual al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Si los puntos están ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a dicho eje, la distancia entre los puntos es igual al valor absolutode la diferencia de sus ordenadas.
2

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Coordenadas del punto medio de un segmento

Consideremos el segmento PQ siendo P = (x 1; y 1) y Q = (x 2, y 2) Y sea M = (x; y) el punto medio del segmento PQ. Queremos determinar las coordenadas de M en función de las coordenadas de P y de Q.

Trazamoslas rectas paralelas a los ejes que pasan por P y Q. Queda determinado el triángulo rectángulo PRQ rectángulo en R y es R = (x1; y2 )

Por M, trazamos una recta paralela a QR. Esta recta interseca al lado PR en N. Asumimos que N es el punto medio de PR (la demostración queda fuera del alcance de este texto). Luego es: |PN| = |NR| En consecuencia x – x1 = x2 – x O en forma equivalente 2x = x1 +x2 Resolviendo la ecuación obtenemos:

x x 2 x 1 2 Por lo cual la abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de sus extremos.
Procediendo de manera similar, se encuentra que la ordenada del punto medio es el promedio de las ordenadas de sus extremos.

y y 2 y 1 2

Entonces el punto medio del segmento queda caracterizado por:

 1 x 2 y1 y 2 x M  ;  2 ...