laplace

REGULACIÓN AUTOMATICA (1)
(transformada inversa de Laplace)

Escuela Politécnica Superior
Profesor: Darío García Rodriguez

1

TRANFORMADA INVERSA DE LAPLACE
A( s ) b1 s n −1 + b2 s n − 2 +b3 s n−3 + ...
=
Dada la función de s, F ( s ) =
B( s )
s n + a1 s n −1 + a 2 s n − 2 + ...
denominador (son los polos ) pueden ser:

las raíces del

a) Reales diferentes
b) Realesmúltiples (no todas las raíces)
c) Complejas conjugadas ( no todas las raíces)
Dependiendo de las raíces del denominador, se pueden descomponer en fracciones mas
simples, para calcular fácilmente sutransformada inversa de Laplace.
a) Raíces reales diferentes:
F (s) =

A( s ) k ·(s + z1 )·(s + z 2 )·...
A
B
=
=
+
+ ........
B( s )
( s + p1 )·(s + p 2 )...
s + p1 s + p 2

A = lim(s + p1 )·A( s)
B( s)

B = lim(s + p 2 )·

s → − p1

A( s )
B( s )

..........

s →− p2

La transformada inversa de Laplace de F(s) es:
f (t ) = A·e − p1t + B·e − p2t + ...
Ejemplo:
2 s 3 +5s 2 + 3s + 6
F (s) = 3
s + 6 s 2 + 11s + 6
el mayor exponente del denominador, tiene que ser como mínimo, superior al del
numerador en uno.

Dividiendo el numerador entre el denominador nosqueda:
F (s) =

2 s 3 + 5s 2 + 3s + 6
7 s 2 + 19s + 6
A
B
C
= 2− 3
= 2−
−
−
3
2
2
s +1 s + 2 s + 3
s + 6 s + 11s + 6
s + 6 s + 11s + 6

Las raíces de la ecuación del denominador son–1 , -2 y –3.

A = lim ( s + 1)·
s → −1

7 s 2 + 19 s + 6
= −3
( s + 1)·(s + 2)·(s + 3)

B = lim ( s + 2)·
s → −1

7 s 2 + 19 s + 6
=4
( s + 1)·(s + 2)·(s + 3)

2

C = lim ( s + 3)·
s→ −3

F (s) = 2 +

7 s 2 + 19 s + 6
=6
( s + 1)·(s + 2)·(s + 3)

3
4
6
−
−
s +1 s + 2 s + 3

Luego nos quedará:

cuya transformada inversa de Laplace es:

f(t)=2·Dirac(t) + 3·e-t–4e-2·t –6·e-3·t
Si queremos resolverlo por el programa de Matlab Sería:
Utilizando la instrucción Residue del programa Matlab en el caso particular de
raíces diferentes el resultado es el que...