Laplaciano En Coordenadas Polares

Laplaciano en coordenadas polares

Coordenadas polares

A todo punto del plano cuyas coordenadas rectangulares son podemos asignarle las siguientes coordenadas:

* =distancia del origen decoordenadas al punto

* =ángulo desde el semieje positivo del eje al segmento que une el origen de coordenadas con

Representado gráficamente sería así:

Teniendo en cuenta esta definiciónse tiene que y (se puede definir también el ángulo en el intervalo).

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

Rectangulares en función delas polares

Polares en función de las rectangulares

En relación con los problemas con valor en la frontera para las ecuaciones diferenciales parciales, es un principio general utilizar coordenadascon respecto a las cuales la frontera de la región que se esté considerando tenga una representación sencilla. Para esto se emplearan las coordenadas polares en función de las rectangulares.

Encoordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el Laplaciano de una función f es:

En las aplicaciones, con frecuencia se requieren transformaciones de expresiones diferenciales, de un sistema decoordenadas hacia otro. Por lo tanto se deben seguir con atención las presentes consideraciones.

Primeramente se aplica la regla de la cadena, y para simplificar se denotaran las derivadas parcialesmediante subíndices y u(x,y,t), como una función de r,Ɵ,t, con la misma letra u.

Regla de la cadena

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vezdepende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambiode u con respecto a x.

Aplicando la regla de la cadena para el primer término y derivando por segunda vez con respecto a x, se tiene:

Para el segundo término:

Ahora, aplicando otra vez la...