Las funciones logaritmicas

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Funciones Logarítmicas Definición. Si a es cualquier número positivo distinto de 1, la función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a y escribimos y = loga x ⇔ay = x (1)

En consecuencia se cumple que : log a (x) (2) a =x y

(3) log

a

(a x) = x.

Muchas veces, cuando no hay confusión, escribiremos y =log a x (sin los paréntesis) en lugar de loga(x). La equivalencia (1) nos dice que log a(x) es el exponente y, al cual debe elevar la base a para obtener x. Como a1 = a y
a

a0 = 1, se tiene que: a=1 y (5) log
a

(4) log

1=0Propiedades de la Función Logaritmo La función logaritmo y = loga x tiene las siguientes propiedades: 1. Dominio: R +, Rango: R. 2. Es biyectiva. 3. Es creciente si a > 1 y es decreciente si a < 1. 4. Lagráfica de y = log a x corta al eje X en (1, 0). No corta al eje Y.

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Gráfica de la Función Logaritmo en base a

a>1

0+

0 0, v > 0 y n es un número real, entonces: 1. log a (u .v) = log au + log a v 2. log 3. log
a a

un = n. log

⎛u⎞ ⎜ ⎟ = log ⎝v⎠

a

u – log a v
a

u.

Demostración 2. Si x = log y = log a v, entonces ax u u = ax , v = ay ; además = y =ax − y . v a
au e

Luego

log log
a

a

⎛u⎞ ⎜ ⎟ = log ⎝v⎠

⎛u⎞ ⎜ ⎟ =x−y ⎝v⎠
a

u − log a v

La Función Logaritmo Natural La función Logaritmo Natural es la función logaritmo con base e. A estafunción se le denota por y = ln x. O sea, ln x = log e x

La función y = ln x es la inversa de la función y = ex. Por lo tanto: (1) e
ln x

=x

y
⇔

(2) ln e e
y

x

=x

o,equivalentemente, (3) y = ln x

=x

Como e1 = e, tenemos que ln e = 1. Como la función exponencial natural y logaritmo natural son funciones inversas, la gráfica de y = ln x es sólo la gráfica de y = exreflejada con respecto a la recta y = x.

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y=x y = ex y = ln x

Además el dominio de la función logaritmo natural es (0,+ ∞ ) y su rango es (– ∞, +∞).

Se tiene que a) x lim∞ lnx = + ∞ →+...