las matematicas
Páginas: 15 (3621 palabras)
Publicado: 1 de julio de 2014
Numeros Fractales
Eduardo Donato Alcantar Roldan
4 “e”
10/ Febrero/ 2014
Indice
Los ejemplos clásicos 3… 9
¿Por qué fractales? 10… 12
Etimología de la palabra Fractal 13… 15
Diferencias fundamentales entre la Geometría Euclidea y la Fractal 16…17
Los conjuntos de Julia 18… 21
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot 22… 24
El método deMandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z 25… 29
El metodo de JULIA: diferentes fractales iterando potencias de Z…
Descomposicion de funciones de variable compleja en su parte Real y su parte imaginaria…
Ejemplos Clasicos
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872. Posteriormente aparecieron ejemplos conpropiedades similares pero una definición más geométrica.
Existen distintos tipos de ejemplos clásicos como: Alfombra de Sierpinski, Esponja de Menger, Copo de nieve Koch, Conjunto de Cantor, Triangulo de Sierpinski, etc…
La alfombra de Sierpinski es un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916. Es una variante de un Conjunto de Cantor plano en la que el cuadradoinicial se transforma suprimiéndole el cuadrado central de lado 1/3. En cada uno de los 8 cuadrados de lado 1/3 que forman la figura restante se repite esta operación. Y así sucesivamente.
Para la construcción de "La Alfombra de Sierpinski" aplicamos 8 semejanzas:
f 1 (x, y) = (x / 3, y / 3)
f 2 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y /3 )
f 3 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 )
f 4 (x,y) = ( x / 3 , y / 3+ 1 / 3 )
f 5 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 1 / 3)
f 6 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 7 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 8 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
Si vamos viendo el área de " La Alfombra de Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos:
Iteracción 1 >> Área = 8 / 9
Iteracción 2 >> Área = 64 / 81
Iteracción 3 >>Área = 512 / 729
Iteracción 4 >> Área = 4096 / 6561
Como se ve en esta serie el área de la alfombra tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:
Area = p ^ i * f ^ i
Donde:
p = nº de partes = 8
i = nº iteraciones
f = factor de escala = 1/3
También obtenemos que la dimensión de semejanza sea:
Ds = log 8 / log 3
Triangulo deSierpinski se construye partiendo de un triángulo simple. Después, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro triángulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres triángulos que quedan en la posición de los vértices del triángulo original se les aplica esta misma transformación sucesivamente:
La dimensión fractal de este triángulo se corresponde con el opuesto dellímite cuando el número de iteraciones n tiende a infinito del cociente entre los logaritmos neperianos del número de triángulos negros y del tamaño del lado de cada uno de ellos en la n-ésima iteración. Este es el cálculo:
nº triángulos negros = 3n
Tamaño del lado de los triángulos = 2-n
Dimensión fractal = -lim [nèinf.] ((ln 3n) / (ln 2-n)) = lg[2] 3 = 1’584962…
También véase el Copode nieve Koch o también estrella de koch es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto, es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces.
El proceso que lleva asustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras...
Numeros Fractales
Eduardo Donato Alcantar Roldan
4 “e”
10/ Febrero/ 2014
Indice
Los ejemplos clásicos 3… 9
¿Por qué fractales? 10… 12
Etimología de la palabra Fractal 13… 15
Diferencias fundamentales entre la Geometría Euclidea y la Fractal 16…17
Los conjuntos de Julia 18… 21
Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot 22… 24
El método deMandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z 25… 29
El metodo de JULIA: diferentes fractales iterando potencias de Z…
Descomposicion de funciones de variable compleja en su parte Real y su parte imaginaria…
Ejemplos Clasicos
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872. Posteriormente aparecieron ejemplos conpropiedades similares pero una definición más geométrica.
Existen distintos tipos de ejemplos clásicos como: Alfombra de Sierpinski, Esponja de Menger, Copo de nieve Koch, Conjunto de Cantor, Triangulo de Sierpinski, etc…
La alfombra de Sierpinski es un conjunto fractal descrito por primera vez por Wacław Sierpiński en 1916. Es una variante de un Conjunto de Cantor plano en la que el cuadradoinicial se transforma suprimiéndole el cuadrado central de lado 1/3. En cada uno de los 8 cuadrados de lado 1/3 que forman la figura restante se repite esta operación. Y así sucesivamente.
Para la construcción de "La Alfombra de Sierpinski" aplicamos 8 semejanzas:
f 1 (x, y) = (x / 3, y / 3)
f 2 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y /3 )
f 3 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 )
f 4 (x,y) = ( x / 3 , y / 3+ 1 / 3 )
f 5 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 1 / 3)
f 6 (x,y) = ( x / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 7 (x,y) = ( x / 3 + 1 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
f 8 (x,y) = ( x / 3 + 2 / 3 , y / 3 + 2 / 3 )
Si vamos viendo el área de " La Alfombra de Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos:
Iteracción 1 >> Área = 8 / 9
Iteracción 2 >> Área = 64 / 81
Iteracción 3 >>Área = 512 / 729
Iteracción 4 >> Área = 4096 / 6561
Como se ve en esta serie el área de la alfombra tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula:
Area = p ^ i * f ^ i
Donde:
p = nº de partes = 8
i = nº iteraciones
f = factor de escala = 1/3
También obtenemos que la dimensión de semejanza sea:
Ds = log 8 / log 3
Triangulo deSierpinski se construye partiendo de un triángulo simple. Después, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro triángulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres triángulos que quedan en la posición de los vértices del triángulo original se les aplica esta misma transformación sucesivamente:
La dimensión fractal de este triángulo se corresponde con el opuesto dellímite cuando el número de iteraciones n tiende a infinito del cociente entre los logaritmos neperianos del número de triángulos negros y del tamaño del lado de cada uno de ellos en la n-ésima iteración. Este es el cálculo:
nº triángulos negros = 3n
Tamaño del lado de los triángulos = 2-n
Dimensión fractal = -lim [nèinf.] ((ln 3n) / (ln 2-n)) = lg[2] 3 = 1’584962…
También véase el Copode nieve Koch o también estrella de koch es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto, es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces.
El proceso que lleva asustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras...
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