Lata

Semana 11 [1/48]

Curvas en el espacio

October 11, 2007

Curvas en el espacio

Semana 11 [2/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas ortogonales

Sistema de coordenadas curvilíneas
Una transformación invertible r : D ⊆ Ê3 → Ê3 ,

r (u , v , w ) = (x (u , v , w ), y (u , v , w ), z (u , v , w )).

Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...

Curvas en el espacioSemana 11 [3/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas ortogonales

Sistema de coordenadas curvilíneas
Una transformación invertible r : D ⊆ Ê3 → Ê3 ,

r (u , v , w ) = (x (u , v , w ), y (u , v , w ), z (u , v , w )).

Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...

Curvas en el espacio

Semana 11 [4/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas cilíndricas
La posición de un punto Pen el espacio queda determinada por tres
variables, ρ, θ y z :

ρ ∈ [0, +∞[
θ ∈ [0, 2π [
z∈Ê
+P

z
θ

ρ

Curvas en el espacio

Semana 11 [5/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas cilíndricas

La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
r (ρ, θ, z ) = (x (ρ, θ, z ), y (ρ, θ, z ), z (ρ, θ, z )) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z ).

Recíprocamente, a un punto(x , y , z ), le corresponde las coordenadas:

ρ=

x 2 + y 2,

θ = arctan

y
,
x

Curvas en el espacio

z = z.

Semana 11 [6/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas cilíndricas

La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
r (ρ, θ, z ) = (x (ρ, θ, z ), y (ρ, θ, z ), z (ρ, θ, z )) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z ).

Recíprocamente, a un punto (x , y , z ),le corresponde las coordenadas:

ρ=

x 2 + y 2,

θ = arctan

y
,
x

Curvas en el espacio

z = z.

Semana 11 [7/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas cilíndricas

La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
r (ρ, θ, z ) = (x (ρ, θ, z ), y (ρ, θ, z ), z (ρ, θ, z )) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z ).

Recíprocamente, a un punto (x , y , z ), lecorresponde las coordenadas:

ρ=

x 2 + y 2,

θ = arctan

y
,
x

Curvas en el espacio

z = z.

Semana 11 [8/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas esféricas
La posición de un punto P está determinada por un radio r y dos ángulos θ y
ϕ:
z

r ∈ [0, +∞[
ϕ ∈ [0, π ]
θ ∈ [0, 2π [
+P

ϕ

r
y

θ

x

Curvas en el espacio

Semana 11 [9/48]

Curvas en el espacioCoordenadas esféricas

Para un punto descrito usando los valores r , ϕ y θ:
r (r , ϕ, θ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ).

Recíprocamente, para un punto (x , y , z ), se tiene la relación:

r=

x2

+

y2

+

z 2,

ϕ = arctan

θ = arctan

y
.
x

Curvas en el espacio

x2 + y2
z

,

Semana 11 [10/48]

Curvas en el espacio

Coordenadas esféricas

Para unpunto descrito usando los valores r , ϕ y θ:
r (r , ϕ, θ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ).

Recíprocamente, para un punto (x , y , z ), se tiene la relación:

r=

x2

+

y2

+

z 2,

ϕ = arctan

θ = arctan

y
.
x

Curvas en el espacio

x2 + y2
z

,

Semana 11 [11/48]

Curvas en el espacio

Curvas
Denotamos por Ên el espacio n-dimensional dotado de lanorma euclidiana:
x=

x ·x =

2
2
x1 + . . . + xn .

Curva

Γ ⊆ Ên es una curva

si existe r : I = [a, b] → Ên continua, llamada parametrización de la curva, tal
que
Γ = {r (t ) : t ∈ [a, b]}.

Γ
r (t )

I
Curvas en el espacio

Semana 11 [12/48]

Curvas en el espacio

Curvas
Denotamos por Ên el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
x=

x ·x =

2
2x1 + . . . + xn .

Curva

Γ ⊆ Ên es una curva

si existe r : I = [a, b] → Ên continua, llamada parametrización de la curva, tal
que
Γ = {r (t ) : t ∈ [a, b]}.

Γ
r (t )

I
Curvas en el espacio

Semana 11 [13/48]

Curvas en el espacio

Curvas
Denotamos por Ên el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
x=

x ·x =

2
2
x1 + . . . + xn .

Curva

Γ ⊆ Ên es...