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Importancia de los Métodos Numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal es encontrar solucionesaproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.
Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices

Tengo laimpresión, en mis 20 años de trabajo como profesor, que generalmente los estudiantes menosprecian los métodos que conducen a la solución aproximada del problema. Y digo que tengo la impresión pues no conozco de estudios realizados al respecto.
Sin embargo no debemos culpar a los estudiantes por esa valoración ya que si calculamos el tiempo que se dedica a enseñarles métodos exactos de solución a lolargo de toda la enseñanza incluyendo la educación superior, obtendremos que el tiempo dedicado a la enseñanza de métodos aproximados es mínimo en comparación con el dedicado a métodos exactos, mientras que en la práctica ocurre por ejemplo que hay autores que señalan que sólo se pueden resolver por métodos exactos no más del 5 % de las ecuaciones diferenciales que se pueden presentar. Si a lacontradicción anterior le sumamos que no siempre los profesores le demuestran a los estudiantes la importancia de los métodos aproximados, entonces el estudiante obviamente llega a pensar que lo más importante son los métodos exactos.
Sucede pues que se dedica mucho tiempo a estudiar gran cantidad de métodos llamados exactos que realmente resuelven un grupo pequeño de problemas, en lugar de dedicarmás tiempo a estudiar métodos aproximados que aunque sean relativamente pocos en cantidad , pueden sin embargo aplicarse a un gran número de problemas.
Un ejemplo de problema que no puede ser resuelto por un método exacto es la búsqueda de las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro, lo cual fue demostrado por Galois (1811-1832) y sin embargo las ecuaciones de gradosuperior al cuatro aparecen con frecuencia en problemas técnicos y científicos, por ejemplo, en la aerodinámica aplicada, en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, interviene una ecuación de octavo grado.

Hay que llevarle al estudiante la idea de que no solamente la mayoría de los problemas no pueden ser resueltos por métodos exactos, sino que existen también problemas cuyasolución por un método exacto, aunque es posible, es más laboriosa y engorrosa que mediante la utilización de un método aproximado.
Por ejemplo para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales del tipo

Si se disponen de métodos exactos o directos como lo es la regla de Cramer, la gran cantidad de cálculos que se requieren para evaluar los determinantes, aunque el sistema sea de bajo orden, esmucho mayor que el número de operaciones que requiere por ejemplo un método aproximado como lo es el método de eliminación de Gauss, digamos que para n = 10 la aplicación de la regla de Cramer requiere aproximadamente 40 000 000 multiplicaciones, en tanto que el método de Gauss requiere aproximadamente 300 multiplicaciones y divisiones.
Estamos hablando de métodos exactos y Métodos aproximados,cuando lo correcto es hablar de Métodos analíticos y Métodos numéricos respectivamente, puesto que exacto hay muy poco en la vida. Digamos que cuando decimos que el largo de una mesa es de 4m. , esa medida no es exacta, pues ella incluye un cierto error, me refiero al error que introducen los ojos como órganos de la visión más el error del propio instrumento de medición que se use.

Cuando...