Lenguajes de simulacion y simuladores




UNIDAD 3:

GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

3.1 Conceptos básicos

Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad finita o
infinita numerable de valores. Si por el contrario, la variable aleatoria puede tomar
cualquier valor de un conjunto infinito no numerable, entonces la variable es
continua.

3.2 Variables aleatorias discretas

El comportamiento aleatorio de unavariable aleatoria discreta se analiza a
través de una función de probabilidad.

Definición:

Esto es, la función de probabilidad de X es una función que asigna a cada
valor de x del rango de X, la probabilidad de que la variable aleatoria lo asuma en
la siguiente realización del experimento.

Sea X una variable aleatoria discreta, cuyo rango (conjunto de valores posibles) es
el conjunto quedenotamos por RX. Se define la función de probabilidad de X
como:



Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene las
Siguientes propiedades:
1.- Sus valores están entre 0 y 1


2.- La suma de los valores de f (x) X cuando se consideran todos los valores
Del rango, es igual a uno.

3.- La probabilidad de que la variable aleatoria presente alguno de los valores
Quepertenecen a un conjunto, es la suma de las probabilidades de los
Valores particulares.


3.3 Variables aleatorias continuas.

Por la naturaleza de las variables aleatorias continuas, no es posible hacer su
Análisis a través de una función de probabilidad como en el caso discreto, pero en
su lugar se utiliza otra función conocida como función de probabilidad o
simplemente de densidad.



que cumplecon las siguientes condiciones:
1) La función fX(x) no toma valores negativos.



2) El área bajo la función es uno.




3) La probabilidad de que la variable aleatoria presente un valor cualquiera
dentro de un intervalo, es el área bajo la función y sobre el intervalo.


3. 4 Métodos de Generación de Variables Aleatorias

Hay una variedad de métodos para generar variables aleatorias. Cada métodose aplica solo a un
subconjunto de distribuciones y para una distribución en particular un método puede ser más
eficiente que otro.
3.4.1 Transformación Inversa

Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable R = F(x) esta distribuida
uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (R).

Analíticamente, el método serepresenta como:

Donde f(x) es la función de densidad de probabilidad de la distribución deseada. Para ver porqué el
X generado con este método en realidad tiene la distribución deseada, tome un valor X0 y calcule la
probabilidad acumulada:

Puesto que F(X0) pertenece al intervalo [0,1], la segunda igualdad plantea que R es un número uniformemente distribuido en dicho intervalo, y como F(x) es lafunción de probabilidad acumulada de X, se concluye que esta variable tendrá la distribución deseada.









3.4.2 Método de Consolación
Esta técnica puede ser usada si la variable aleatoria x puede ser expresada como la suma de n
variables aleatorias y1 , ..., yn que puedan ser generadas fácilmente:

En este caso x se puede generar n variables aleatorias y1 , ..., yn y sumándolas. Si x es lasuma de
dos variables aleatorias y1 y y2 , entonces la densidad de x puede se obtenida analíticamente por
la convolución de las densidades de y1 y y2 ; de aquí el nombre de la técnica a pesar de que la
convolución no es necesaria para la generación de números aleatorios.
Nótese la diferencia entre composición y convolución. La primera se usa cuando la densidad o
FDA puede ser expresada como la sumade otras densidades o FDA. La segunda se usa cuando
la variable misma puede ser expresada como la suma de otras variables.

A continuación se dan unos ejemplos de aplicación de esta técnica:
Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.
Una variable Binomial de parámetros n y p es la suma de n variable Bernulli con
probabilidad de éxito p.
La chi-cuadrado con v grados de libertad es la...