Ley de los senos

Teorema del seno


Teorema del seno.
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senosdelos ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c,entonces:

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modoque es poco conocida.


El teorema de los senos establece quea/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongandoel segmento BOhasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos sonángulosinscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtienesuele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio dela circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro delacircunferencia circunscrita.
Aplicación
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa...