Leyes de probabilidad notables

LEYES DE PROBABILIDAD NOTABLES
1.- DISTRIBUCIÓN BERNOULLI
Sea un experimento en el cual podemos obtener éxito con probabilidad p y
fracaso q=1-p. Se denota por X~Be(p) y su función de cuantía es:
1 PX  1  p
X
0 PX  0  q  1  p
Se expresa de forma conjunta como PX  i  p i 1  p 

1i

i  0,1

La media y varianza de la distribución son EX   p, VX   p1  p El único parámetro es p y debe verificar que 0p1 porque es la probabilidad de
obtener éxito.

2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sea un experimento en el cual podemos obtener éxito con probabilidad p y
fracaso con probabilidad q=1-p. Se repite dicho experimento de forma
independiente n veces. La variable X mide el número de éxitos en las n repeticiones
y se denota por X~B(n,p), cuya función decuantía es:
n
n k
PX  k   p k 1  p 
k
 

con k  0,1,,n

La media y la varianza de la distribución son EX   np, VX   np1  p 
La distribución binomial tiene dos parámetros que son n (número de
repeticiones) y p (probabilidad de éxito), por lo tanto deben verificar que
n=1,2,3,… y 0p1.

3.- DISTRIBUCIÓN POISSON
Sea un experimento en el que se produce unsuceso en soporte continuo. La
variable X mide el número de sucesos acontecidos de forma independiente que
ocurren a una velocidad constante a lo largo de una unidad continua y se denota por
X~P() con  cuya función de cuantía es:
PX  k  e



k
k!

con k  0,1,2,

La media y la varianza de la distribución son EX   , VX   
Se verifica que Bi(n,p)  P(np) si n, np ypor dicha razón también se la
conoce como ley de los sucesos raros.

4.- DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Sea una población finita formada por N elementos, de los cuales M(N) poseen
una determinada característica. El experimento consiste en extraer una muestra sin
reemplazamiento de tamaño n. la variable X mide el número de elementos de la
muestra que posee tal característica y se denota porX~H(N,M,n), cuya función de
cuantía es:
 M  N  M 
 

 k  n  k 

 
con k  max0, n - N  M,  , minn , M
PX  k 
 N
 
n
 
La media y la varianza de la distribución son
nM
nM  M  N  n 
EX  
, VX  
1  

N
N 
N  N  1 

La distribución Hipergeométrica tiene tres parámetros que son N (número de
elementos de la población), M(número de elementos de la población que poseen una
determinada característica) y n (número de elementos que examinamos), por lo tanto
deben verificar que N=1,2,3,… , M=1,2,…,N y n=1,2,3,…,N.
 M
Se verifica que H(N,M,n) Bi  n,  si N reflejando el que, en poblaciones
 N
muy grandes, los muestreos con y sin reemplazamiento son equivalentes.

5.- DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Sea unexperimento en el cual podemos obtener éxito con probabilidad p y
fracaso con probabilidad q=1-p. Se repite dicho experimento de forma
independiente hasta que observamos el primer éxito. La variable X mide el número
de fracasos antes de obtener el primer éxito y se denota por X~Ge(p), cuya función
de cuantía es:
PX  k  p1  p 

k

con k  0,1,2,

La media y la varianza de ladistribución son EX  

1 p
1 p
, VX   2
p
p

La distribución Geométrica tiene un único parámetro que es p (probabilidad de
éxito), por lo tanto deben verificar que 0p1.

6.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Sea un experimento en el cual podemos obtener éxito con probabilidad p y
fracaso con probabilidad q=1-p. Se repite dicho experimento de forma
independiente hasta que observamos néxitos. La variable X mide el número de
fracasos hasta obtener el n-ésimo éxito y se denota por X~BN(n,p), cuya función de
cuantía es:
 n  k  1 n
k
PX  k  
 k p 1  p 




con k  0,1,2, 

La media y la varianza de la distribución son EX  

n 1  p 
n 1  p 
, VX  
p
p2

La distribución Binomial Negativa tiene dos parámetros que son n (número de...