leyes

Derivadas
Prof. Hernán Flores V.

1. El problema de la tangente

y

(b; f(b))

f(b)
6

4

(a; f(a))
f(a)

2

x
2

a

4

6

b

8

y

6

4

(a; f(a))

f(a)

2

x
2

a

4

6

8

1. El problema de la tangente
2. El problema de la velocidad y
la aceleración

“Recorre 300 km en 6 horas”

Velocidad: 50 km/h

1. El problema de latangente
2. El problema de la velocidad y
la aceleración
3. El problema de máximos y
mínimos

f (x) = 2x3 – 2x2 – 28x + 48

1. El problema de la tangente
2. El problema de la velocidad y
la aceleración
3. El problema de máximos y
mínimos
4. El problema del área bajo una
curva

?

1. El problema de la tangente
2. El problema de la velocidad y
la aceleración
3. El problema demáximos y
mínimos
4. El problema del área bajo una
curva

Sir Isaac Newton
(1642 – 1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en
el punto (a ; f(a))
y

6

y = f(x)
4

2

x
2

4

a

6

x

8

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la
recta secante que pasa por esos dos puntos
y

(x; f(x))

6

42

(a; f(a))
x
2

4

a

6

8

x

¿Cuál es la pendiente de la recta secante?
(x; f(x))

y

6

4

(a; f(a))

f(x) - f(a)

2

x-a
x
2

4

a

6

x

8

Pendiente de la recta secante que pasa
por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

f ( x )  f (a )
Pendiente 
x a

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

2

x-a
x2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

2

x-a
x
2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
2

x-a
x
2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
2

x-a
x
2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” seaproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
2

x-a
x
2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
2

x-a
x
2

4

a

6

8

x

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x-a

2

x
2

4

a

6

x

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x-a

2

x2

4

a

6

x

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)
x-a

2

x
2

4

a

6

x

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

f(x) - f(a)

x-a

2

x
2

4

a

6

x

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

4

a

x

6

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”y

6

4

2

x
2

4

a x

6

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

4

ax

6

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

4

ax

6

8

Ahora hagamos que “x” se aproxime a “a”
y

6

4

2

x
2

4

a
x

6

8

Pendiente de la recta tangente en el punto
(a; f(a))

f ( x )  f (a )m  lím
x a
x a

Ahora hagamos que “x = a+h”
y

6

4

f(a+h) - f(a)

2

h
x
2

4

a

6

8

a+h

La siguiente es una forma equivalente:

f (a  h)  f (a)
m  lím
h0
h

Ejemplos
 Encuentre una ecuación de la recta

tangente a la parábola y = x2 en el
punto donde x=1.

 Encuentre una ecuación de la recta

tangente a la curva y = 3/x en el puntodonde x=3.
 Encuentre la pendiente de la recta

tangente en el punto donde x=9 a la
curva:
y x

Definición
 La derivada de una función f en un

número a, denotada con f’(a), es:

f (a  h)  f (a)
f ' (a)  lím
h0
h
si este límite existe.

Interpretación geométrica de la derivada
 La derivada de una función f en un número

a es la pendiente de la recta tangente a la...