Libro De Variable Compleja
Páginas: 92 (22847 palabras)
Publicado: 22 de junio de 2015
Apuntes de Variable Compleja
Dr. Carlos Lizama
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´atica y C.C.
Introducci´
on
El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde al curso del
mismo nombre (hoy C´alculo IV) impartido por el autor a la carrera de Ingenier´ıa
Matem´atica durante varios semestres consecutivos.
La presente corresponde a la versi´onpreliminar del texto. Se agradecer´a a
aquellos estudiantes que puedan contribuir con sus observaciones a fin de concretar la primera versi´on del libro para el segundo semestre del 2008.
Santiago, Marzo 2008.
2
´Indice general
1. Preliminares
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
4
4
5
2. Funciones de Variable Compleja
2.1. Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Algunas funciones de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
12
3. Series
3.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.2. Representaciones por series de Taylor
3.3. Serie geom´etrica . . . . . . . . . . . .
3.4. Extensi´on anal´ıtica . . . . . . . . . .3.5. Prolongaci´on anal´ıtica . . . . . . . .
3.6. Transformaciones conformes . . . . .
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4. Integraci´
on
4.1. Definici´on y propiedades . . .
4.2. Formula de Cauchy . .. . . .
4.3. Teor´ıa de indice y homotop´ıa
4.4. Teoremas fundamentales . . .
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5. Polos y residuos
5.1. Desarrollo en serie de Laurent . .
5.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . .
5.3. C´alculo de integrales . .. . . . .
5.4. F´ormula de Poisson . . . . . . . .
5.5. F´ormula de Jensen . . . . . . . .
5.6. Automorfismos del disco unitario
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48
50
6. Ejercicios6.1. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
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89
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3
Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1.
Introducci´
on
La primera noci´on de un n´
umero complejo fue descubierta en conexi´on con resolver ecuaciones cuadr´aticas.
Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´on z 2 + 1. Obviamente,esta no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x2 ≥ 0 y x2 + 1 > 0.
√
La idea es escribir, formalmente, z = ± −1; pero no existe n´
umero real cuyo
cuadrado de −1. Luego, si ecuaci´on tiene una soluci´on, debe ser en un sistema de
n´
umeros mayor que el conjunto de los n´
umeros reales.
Este fue el problema planteado a matem´aticos por alrededor de 700 a˜
nos: Extender los reales a unsistema mayor de n´
umeros en el cual la ecuaci´on z 2 + 1 puede
tener una soluci´on.
C. Gauss (1780-1840) fue el primer matem´atico en usar sistem´aticamente n´
umeros
complejos. La serie Hipergeom´etrica
1+
ab
a(a + 1)b(b + 1) 2
x+
x + ...
c
c(c + 1) · 1 · 2
Se comprende mejor al analizar los complejos | x |< 1. (Note que si b = c y a = 1
se obtiene la serie geom´etrica).
Gauss Demostr´o:”Toda ecuaci´on an z n + an−1 z n−1 + ... + a0 = 0 tiene n-soluciones en C”.
A. L. Cauchy di´o la estructura central al desarrollo de variable compleja a trav´es
de la idea de la integral de l´ınea:
f (z)dz,
γ
la cual da sentido a la f´ormula integral de Cauchy: f (z) =
4
1
2πi
γ
f (ζ)
dζ
ζ −z
1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS
1.2.
5
Propiedades algebraicas
Un n´
umero complejo es una...
Dr. Carlos Lizama
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´atica y C.C.
Introducci´
on
El presente texto de apuntes de Variable Compleja corresponde al curso del
mismo nombre (hoy C´alculo IV) impartido por el autor a la carrera de Ingenier´ıa
Matem´atica durante varios semestres consecutivos.
La presente corresponde a la versi´onpreliminar del texto. Se agradecer´a a
aquellos estudiantes que puedan contribuir con sus observaciones a fin de concretar la primera versi´on del libro para el segundo semestre del 2008.
Santiago, Marzo 2008.
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´Indice general
1. Preliminares
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
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2. Funciones de Variable Compleja
2.1. Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Algunas funciones de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Series
3.1. Series de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.2. Representaciones por series de Taylor
3.3. Serie geom´etrica . . . . . . . . . . . .
3.4. Extensi´on anal´ıtica . . . . . . . . . .3.5. Prolongaci´on anal´ıtica . . . . . . . .
3.6. Transformaciones conformes . . . . .
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4. Integraci´
on
4.1. Definici´on y propiedades . . .
4.2. Formula de Cauchy . .. . . .
4.3. Teor´ıa de indice y homotop´ıa
4.4. Teoremas fundamentales . . .
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5. Polos y residuos
5.1. Desarrollo en serie de Laurent . .
5.2. Residuos . . . . . . . . . . . . . .
5.3. C´alculo de integrales . .. . . . .
5.4. F´ormula de Poisson . . . . . . . .
5.5. F´ormula de Jensen . . . . . . . .
5.6. Automorfismos del disco unitario
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6.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Cap´ıtulo 1
Preliminares
1.1.
Introducci´
on
La primera noci´on de un n´
umero complejo fue descubierta en conexi´on con resolver ecuaciones cuadr´aticas.
Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´on z 2 + 1. Obviamente,esta no tiene soluciones reales, ya que para cualquier real x, x2 ≥ 0 y x2 + 1 > 0.
√
La idea es escribir, formalmente, z = ± −1; pero no existe n´
umero real cuyo
cuadrado de −1. Luego, si ecuaci´on tiene una soluci´on, debe ser en un sistema de
n´
umeros mayor que el conjunto de los n´
umeros reales.
Este fue el problema planteado a matem´aticos por alrededor de 700 a˜
nos: Extender los reales a unsistema mayor de n´
umeros en el cual la ecuaci´on z 2 + 1 puede
tener una soluci´on.
C. Gauss (1780-1840) fue el primer matem´atico en usar sistem´aticamente n´
umeros
complejos. La serie Hipergeom´etrica
1+
ab
a(a + 1)b(b + 1) 2
x+
x + ...
c
c(c + 1) · 1 · 2
Se comprende mejor al analizar los complejos | x |< 1. (Note que si b = c y a = 1
se obtiene la serie geom´etrica).
Gauss Demostr´o:”Toda ecuaci´on an z n + an−1 z n−1 + ... + a0 = 0 tiene n-soluciones en C”.
A. L. Cauchy di´o la estructura central al desarrollo de variable compleja a trav´es
de la idea de la integral de l´ınea:
f (z)dz,
γ
la cual da sentido a la f´ormula integral de Cauchy: f (z) =
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f (ζ)
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1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS
1.2.
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Propiedades algebraicas
Un n´
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