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Colecci´n de ejercicios resueltos: o Variable Compleja y An´lisis Funcional a
Propuestos por Fernando Bombal Gord´n o ´ Redactados por Alvaro S´nchez Gonz´lez a a

Ejercicio 1 Est´diese en qu´ puntos de C la siguiente funci´n es R-diferenciable, en cu´les u e o a se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann, en cu´les es C-diferenciable y si es holoa morfa en alg´n abierto, calculando laderivada en los puntos en que ´sta exista: u e h(z) =
x x2 +y 2 y − i x2 +y2 si (x, y) = (0, 0) y 0 en otro caso.

Soluci´n. En primer lugar, podemos identificar el plano complejo C con el plano real de o dos dimensiones R2 de una forma natural mediante la aplicaci´n que a cada par (x, y) ∈ o R2 le asocia x + iy ∈ C. Haciendo esta identificaci´n, podemos interpretar una funci´n de o o una variablecompleja en t´rminos de dos funciones reales de dos variables reales. Es decir, e identificando z = x+iy con (x, y) podemos entender una funci´n f (z) como u(x, y) +iv(x, y). o Las funciones u, v : R2 → R reciben el nombre de parte (o componente) real e imaginaria respectivamente de la funci´n f. o Sabemos que una funci´n f : R2 → R2 es R-diferenciable si lo son ambas componentes, y o ser´C-diferenciable si y s´lo si, adem´s, se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. En a o a este caso el valor de la derivada en un punto viene dado por: f (z) = ∂u ∂v ∂u ∂u +i = −i = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂v ∂u ∂v ∂v = −i = +i . ∂y ∂y ∂y ∂x
x x2 +y 2

Estudiemos qu´ ocurre con la funci´n h(z). Sean u(x, y) = e o Entonces ∂u −x2 + y 2 ∂u −2xy = 2 , = 2 , ∂x (x + y 2 )2 ∂y (x + y 2 )2 ∂v 2xy = 2 , ∂x (x + y 2 )2∂v −x2 + y 2 = 2 . ∂y (x + y 2 )2

y v(x, y) =

−y . x2 +y 2

luego las derivadas parciales existen y son continuas (en todo punto salvo en 0), con lo que h es una funci´n R-diferenciable en R2 \ {0}. Adem´s se cumplen las condiciones de Cauchyo a Riemann pues ∂u −x2 + y 2 ∂v = 2 = , 2 )2 ∂x (x + y ∂y ∂u 2xy ∂v = 2 =− , 2 )2 ∂y (x + y ∂x luego h es una funci´n C-diferenciable en C \ {0}. oJustifiquemos la afirmaci´n realizada de que la funci´n no es siquiera R-diferenciable en o o (0, 0). En este caso tendr´ ıamos que los l´ ımites 1 u(h, 0) − u(0, 0) = l´ ım 2 , h→0 h→0 h h l´ ım v(0, h) − v(0, 0) 1 = l´ − 2 , ım h→0 h→0 h h l´ ım 1

no existen y por tanto la funci´n no es R-diferenciable y como consecuencia tampoco es o C-diferenciable. En el caso en el que la funci´n cumple lascondiciones de Cauchy-Riemann, sabemos que o existe la derivada y su valor es f (x, y) = −x2 + y 2 2xy +i 2 . 2 + y 2 )2 (x (x + y 2 )2

De hecho, si z = x + iy, se tiene que h(z) = z /|z|2 y por las reglas conocidas de derivaci´n ¯ o se obtiene que −1 h (z) = 2 para todo z ∈ C \ {0}. z De aqu´ se deduce inmediatamente que la funci´n h es diferenciable en C \ {0} y no es ni ı o siquiera continuaen 0.

Ejercicio 2 Calc´lese u

γ

f (z)dz en los siguientes casos:

a) f (z) = z con γ la circunferencia de centro 0 y radio 2 positivamente orientada; ¯ b) f (z) = z con γ la semicircunferencia unitaria que pasa por −i, 1, i en ese orden; c) f (z) =
1 z

con γ la poligonal que une los puntos 1, −i, −1, i en ese orden.

Soluci´n. Utilizaremos aqu´ las integrales sobre caminosparametrizados por una curva: o ı Si γ : [a, b] → C es un camino parametrizado y f (z) un funci´n compleja continua sobre o la trayectoria del camino, tenemos que la integral de la funci´n f a lo largo del camino γ es o
b

f (z)dz =
γ a

f (γ(t))γ (t)dt.

Por tanto, basta con parametrizar los caminos que se proponen. En el caso a), una parametrizaci´n es γ(t) = 2eit con t ∈ [0, 2π], y por tanto o2π

f (z)dz =
γ 0

2e−it 2ieit dt = 4i
0

2π

dt = 8πi.

En el supuesto b) tenemos la parametrizaci´n γ(t) = eit con t ∈ [−π/2, π/2] y puesto que o (eit ) = (cos t + i sin t) = cos t = obtenemos que
π/2

eit + e−it 2

f (z)dz =
γ −π/2

eit + e−it it ie = iπ/2. 2 2

El caso c) se trata de forma ligeramente distinta a los dos anteriores. En primer lugar, debemos escoger...