Licenciado

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Tema 1: Distribuciones en el muestreo
(transparencias de A. Jach http://www.est.uc3m.es/ajach/)
•

Muestras aleatorias

•

Estad´
ısticos

•

Concepto de distribuci´n muestral
o

•

Media muestral
•
•

•

Distribuci´n muestral en el caso normal
o
Distribuci´n muestral para muestras grandes: TCL
o

Cuasi-varianza muestral
•

Estad´
ıstica I

Distribuci´nmuestral en el caso normal: χ2 y Lema de Fisher
o

A. Arribas Gil

2

Muestras aleatorias
Definici´n 1.
o
Se llama poblaci´n al conjunto de individuos de inter´s.
o
e
Por ejemplo:
•

Todos los estudiantes de la UC3M

•

Todos los peces del mar Mediterr´neo
a

•

Todos los pacientes del hospital de Getafe

•

Todas las bombillas de bajo consumo producidas por PhilipsDefinici´n 2.
o
Se llama muestra a un subconjunto de la poblaci´n, elegido para estudiar las
o
propiedades de la poblaci´n original.
o

Estad´
ıstica I

A. Arribas Gil

3

Muestras aleatorias

¿Por qu´ utilizamos muestras?
e

•

Una muestra es mucho m´s f´cil de conseguir que un censo (censo:
a a
informaci´n sobre todos los miembros de una poblaci´n), es decir, es
o
o
muchom´s barato y requiere mucho menos tiempo.
a

•

El censo de una poblaci´n es muchas veces imposible de realizar. Por
o
ejemplo: todos los peces del mar Mediterr´neo.
a

Estad´
ıstica I

A. Arribas Gil

4

Muestras aleatorias
Definici´n
o

3.

Una muestra aleatoria simple (M. A. S.) es una colecci´n de n individuos
o
donde cada uno de ellos es elegido al azar y todos tienenla misma probabilidad
de ser elegidos.
De forma rigurosa, sea X la v. a. de estudio en la poblaci´n, con distribuci´n
o
o
F . Una muestra aleatoria simple de tama˜o n es un conjunto de n v. a.
n
X1 , X2 , . . . , Xn tales que:
•

X1 , X2 , . . . , Xn tienen todas distribuci´n F (Xi ∼ F
o

•

∀i).

X1 , X2 , . . . , Xn son independientes entre s´
ı.

Cada valor concreto (x1 , x2, . . . , xn ) de dicha M. A. S. se denomina muestra
particular.

Estad´
ıstica I

A. Arribas Gil

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Muestras aleatorias
´
NOTACION:
•

X ∼F

⇔

•

Xi ∼ F i.i.d. ⇔ todas las Xi , i = 1, . . . , n son independientes entre
s´ y con id´ntica distribuci´n F ⇔ X1 , X2 , . . . , Xn es una m. a. s.
ı
e
o

X tiene distribuci´n F .
o

i. i. d. = independientes eid´nticamente distribu´
e
ıdas
Observaci´n: F representa la distribuci´n de X y puede denotar
o
o
indistintamente:
•

La funci´n de probabilidad de X (para v. a. discretas); p. ej. :
o
Bernoulli(p), Binomial(n, p), Poisson(λ), . . .

•

La funci´n de densidad de X (para v. a. continuas); p. ej. :
o
N(µ, σ), Exp(λ), U(a, b), . . .

•

La funci´n de distribuci´n de X (para v. a. discretas ocontinuas):
o
o
F (x) = P(X ≤ x)

Estad´
ıstica I

A. Arribas Gil

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Estad´
ısticos
Definici´n 4.
o
Un par´metro (poblacional) es un n´mero (FIJO, NO ALEATORIO,
a
u
´
ıstica de la poblaci´n
o
CONSTANTE, UNICO) que describe alguna caracter´
(generalmente es desconocido).
Ejemplo 1.
Si queremos estudiar la altura de los estudiantes de la UC3M, un par´metro de
a
inter´s esla media poblacional µ (desconocida).
e
Definici´n 5.
o
Un estad´
ıstico (muestral) es un n´mero que se calcula a partir de los datos de
u
una muestra (SU VALOR CAMBIA DE UNA MUESTRA A OTRA).
De forma rigurosa, un estad´
ıstico es una funci´n real de la muestra aleatoria
o
X1 , X2 , . . . , Xn . Por tanto, un estad´
ıstico es una variable aleatoria.
n

1
Ejemplo 1 (cont.) Paraaproximar µ usamos el estad´
ıstico X = n i=1 Xi .
n
1
Para una muestra particular (x1 , x2 , . . . , xn ), calculamos x = n i=1 xi .

¡OJO! : X = x
Estad´
ıstica I

A. Arribas Gil

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Distribuci´n Muestral
o
•

Supongamos que en una poblaci´n seleccionamos todas las posibles
o
muestras de tama˜o n.
n

•

Para cada muestra particular calculamos el mismo estad´
ıstico...