Limites Complejos

Apuntes sobre límites José Saquimux Complejos cercanos a uno fijo En el plano complejo, alrededor de z0 = 1 + i existe un número infinito de complejos muy cercanos a él como se quiera, por ejemplo, z1 = 1.001 +i, z2 = 0.999 + i, z3 = 1 + 1.0001i, z3 = 1 + 0.999i, y z4 = 0.999 + 0.999i, están cerca de z0, por su puesto usted puede mencionar otros mas, y más próximos a z0. Veamos e imaginemos en elplano complejo.
1.002 1.0015 1.001 1.0005 1 0.9995 0.999 0.9985 0.998 0.998 1+j Puntos cerca de 1+j

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

Direcciones de acercamiento. Sobre el plano Z puede aproximarse o acercarse a z0 fijo en distintas formas o distintas direcciones, horizontal por la derecha, horizontal por la izquierda, vertical por arriba, a 60°, a 135°,a -120°, acercamiento espiral, etc, existe un número infinito de formas o direcciones distintas de aproximarse a z0. En contraste con un punto sobre el eje real solo puede aproximarse a este por dos direcciones, por la derecha y por izquierda, recuerde MB2. Plano Z y

.
x

Ideas de límite complejo finito Considere una función w = f(z) definida en todos los puntos alrededor del punto fijo z0del plano complejo, aunque no necesariamente esté definida en z0, si sucede que cuando z se aproxima a z0 a través de todas las formas distintas de aproximación hacia z0, los valores de f(z) se aproximan a un único valor w0 en plano de imágenes W; decimos que el límite de w = f(z) cuando z tiende a z0 existe y es w0. En caso contrario se dice que el límite no existe.
��→��0

lim �� �� = ��0Plano W v

Plano Z Y Z0 w = f(z)

u
x W0

Note que los acercamientos hacia z0 se pueden dar sobre direcciones radiales y no radiales hacia z0, y los acercamientos correspondientes hacia w0 no necesariamente se dan de manera radial, y tampoco en todas las direcciones sobre el plano W. Note también que también que se puede decir, que para que exista el límite, es necesario f(z) tienda a únicocomplejo w0 independientemente de la forma en que z se aproxime a z0. Una forma de considerar que z se aproxime a z0 por todas las distintas formas de aproximación, es describir los límites complejos en términos de “pequeños entornos” alrededor de z0 y w0. Plano Z Entorno de z0 z z0 Plano W v w w0 región de imágenes del entorno de z0 x u

y

Consideremos un círculo de radio pequeño centrado enz0, al conjunto de puntos de dicho círculo se le llama entorno circular de z0. Supongamos que w = f(z) está definida en dicho

entorno excepto quizá en z0, y que todas las imágenes bajo w = f(z) de los puntos del entorno de z0 (puntos dentro y sobre la circunferencia) quedan en una región del plano W (región de imágenes de los puntos del entorno de z0). Notemos que cuando hacemos que el radiodel entorno circular tienda a cero, si z está sobre la circunferencia, hacemos que z tienda a z0 por todas las direcciones posibles de aproximación hacia z0. Ahora imaginemos en el siguiente proceso, hagamos tender a cero el radio del entorno circular de z0, vea que así todos los puntos sobre la circunferencia del entorno circular tienden simultáneamente a z0, en este proceso de aproximación, sideterminamos (de alguna manera) que la región de imágenes tiende a un único punto w0, decimos que el límite de f(z), cuando z tiende a z0, existe y es w0; en caso contrario decimos que el limite no existe.
��→��0

lim �� �� = ��0

Ejemplo 1. Para
��→−1+��

lim

�� 5 �� 4

Con el GeoGebra se visualiza el entorno circular de z = -1 + i y la región de su imagen bajo dicha función en un mismoplano (descargue y explore el archivo asociado)

Usando dicho archivo, se visualiza que al acercar B hacia A = z0, el radio del entorno circular tiende a cero, Z tiende hacia -1 + i (en todas las distintas formas de aproximación, aquí se señala la horizontal), y la región imagen tiende al punto de 1 – i, por lo que inducimos �� 5 lim = 1 − �� ��→−1+�� �� 4 Ejemplo 2. Para, − 2 + �� �� + 4��...