Limites de funciones

Tema 2
Límites de Funciones
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1
Demuestra, aplicando la definición de límite, que
Solución:
si y sólo si
Pero
Puede tomarse

para simplificar los cálculos, ycon

. Entonces
demostrado que

se tiene

. Tomando
cuando

= mínimo

y
, queda

.

Ejercicio 2
Demuestra, aplicando la definición de límite, que
Solución:

Pero,
de
donde

.Por otra parte, si
Basta tomar por tanto

forma se consigue que si

será

, o lo que es lo mismo,

, entonces

Ejercicios T2 (1)

,
. De esta

Ejercicio 3
Demuestra que
Solución:
Seprobará utilizando la propiedad 4 del apartado 2.2.
En la figura puede observarse que :
área triángulo OAB < área sector OAB < área
triángulo OAC
Si x es la medida en radianes del arco AB y elradio
es OA = 1, resulta:
Entonces para todo

Y por tanto

. Multiplicando por

se obtiene

desigualdad ésta que teniendo en cuenta que todas las funciones que intervienen son pares, es
válidapara todo

el

por ser

.

Ejercicio 4
¿Existe el límite de

cuando x tiende a 1?

Solución:
Calculando los límites laterales:
y
Puede concluirse, por tanto que existe el límite yvale
En la gráfica puede observarse las dos partes diferentes que
constituyen la función, a la izquierda del 1 una recta y a su derecha
una parábola, pero en el 1 toman el mismo valor.

6
5
4
32
1
-2

-1

0

1

2

3

4

Ejercicios T2 (2)

Ejercicio 5
Estudia la existencia del
Solución:
Teniendo en cuenta que

, se tiene:

Los límites laterales existen, pero como noson iguales se concluye que no existe el límite.
Ejercicio 6
Resuelve los siguientes límites:
a)

b)

c)

Solución:
a)

=

b)

=
=

=
c)
=

=
=

=

=
=
=

=
=0Ejercicio 7
Calcula el valor de a para que

= 5

=4

Ejercicios T2 (3)

=

Solución:
=

=

=

=

=

Y para que
Ejercicio 8
Halla las asíntotas horizontales y verticales de...