Limites Resueltos

Ana Mar´ Albornoz R. ıa Ejercicios resueltos 1. Calcular los siguientes l´ ımites algebraicos 1) l´ ım 22 + 1 5 x2 + 1 = 2 = 2−1 x→2 x 2 −1 3 x2 − 2x + 1 12 − 21 + 1 0 x2 − 2x + 1 (x − 1)2 = = pero l´ ım = l´ ım = x→1 x→1 x→1 x(x2 − 1) x3 − x 13 − 1 0 x3 − x l´ ım

1

2) l´ ım

(x − 1) 1−1 0 (x − 1)2 = l´ ım = = =0 x→1 x(x + 1) x→1 x(x − 1)(x + 1) 1(2) 2 √ √ √ (x − 1) 2 − x 0 (x − 1) 2 − x(x − 1) 2 − x 3) l´ ım = , pero l´ ım = l´ ım = x→1 x→1 x→1 (1 − x)(1 + x) 1 − x2 0 1 − x2 √ √ −(1 − x) 2 − x −1 2 − x −1 l´ ım = l´ ım = x→1 (1 − x)(1 + x) x→1 1+x 2 4) l´ ım 1 3 1 3 − l´ ım − = ∞ − ∞ que es una forma indetermi3 x→1 1 − x x→1 1 − x 1−x 1 − x3 nada. 1 3 1 3 Pero l´ ım − = l´ ım − = 3 x→1 1 − x x→1 1 − x 1−x (1 − x)(1 + x + x2 ) l´ ım l´ ım

3) (1 + x + x2 − 3) (1 + x + x2 ) − =l´ ım = x→1 1−x (1 − x)(1 + x + x2 ) x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) (x2 + x − 2) (x − 1)(x + 2) = l´ ım = x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) x→1 (1 − x)(1 + x + x2 ) −(1 − x)(x + 2) −(x + 2) −3 = l´ ım = = −1 2) 2) x→1 (1 − x)(1 + x + x x→1 (1 + x + x 3 l´ ım 5) l´ ım l´ ım x+2 x−4 x+2 x−4 + = l´ ım + = x→1 x2 − 5x + 4 3(x2 − 3x + 2) x→1 (x − 4)(x − 1) 3(x − 2)(x − 1) 3(x + 2)(x − 2) + (x − 4)(x − 4) 3(x2 − 4) +(x − 4)2 ) = l´ ım = x→1 x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) 4x2 − 8x + 4 3x2 − 12 + x2 − 8x + 16 = l´ ım = x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) l´ ım 4(x2 − 2x + 1) 4(x2 − 2x + 1) = l´ ım = x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) l´ ım 4(x − 1)2 4(x − 1) 0 = l´ ım = =0 x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) x→1 3(x − 4)(x − 2) −24 l´ ım

Ana Mar´ Albornoz R. ıa2 + x − 3x3 6) l´ ım = l´ ım x→∞ 5 − x2 + 3x3 x→∞ 7) l´ ım
2+x−3x3 x3 5−x2 +3x3 x3 2 3 l´ x ım 5 x→∞ x3

2
= + −
x x3 x2 x3

− +

3x3 x3 3x3 x3

=

0+0−3 = −1 0−0+3

x3 x3 − x(x2 + 1) x3 − x3 − x −x − x = l´ ım = l´ ım = l´ ım 2 = 2+1 2+1 2+1 x→∞ x x→∞ x→∞ x→∞ x + 1 x x − x2 0 l´ x2 x 1 = ım =0 x→∞ 1+0 2 + x2 x
√ √ x2 +1−3 x x √ 4 3 x +5x−x x

√ √ x2 + 1 − 3 x 8) l´ ım √ = l´ ımx→∞ 4 x3 + 5x − x x→∞ = l´ ım √
x2 +1 x2
4

=

√ √ x2 +1 − 3 xx x l´ ım √ 3 4 x +5x x→∞ −x x x

−

3 x1/2

x→∞

x3 +5x x4

= l´ ım

1+
4

1 x2

−

−1

x→∞

1 x

+

5 x3

√ 1+0−0 = −1 = √ 4 0+0−1 −1
3 √ x

9) l´ ım

1 + x2 − 1 Racionalizando obtenemos x→0 x √ √ 1 + x2 − 1 1 + x2 + 1 1 + x2 − 1 √ l´ ım = l´ ım √ = x→0 x 1 + x2 + 1 x→0 x( 1 + x2 + 1) l´ ımx 0 x2 √ = l´ √ ım = =0 2 + 1) 2 + 1) x→0 x→0 x( 1 + x 2 1+x ım 10) l´ x−1−2 Racionalizando obtenemos x→5 x−5 √ √ x−1−2 x−1+2 x−1−4 x−5 √ √ √ l´ ım = l´ ım = l´ ım = x→5 x→5 (x − 5)( x − 1 + 2) x→5 (x − 5)( x − 1 + 2) x−5 x−1+2 1 1 l´ √ ım = x→5 4 x−1+2 √ 3 √

√ √ √ 3 7 + x3 − 3 + x2 7 + x3 − 3 + x2 + 2 − 2 11) l´ = l´ ım = ım x→1 x→1 x−1 x−1 √ √ 3 7 + x3 − 2 3 + x2 − 2 l´ ım − Racionalizandocada fracci´n obtenemos: o x→1 x−1 x−1 √ √ √ √ 3 7 + x3 − 2 3 (7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4 3 + x2 − 2 3 + x2 + 2 √ √ l´ ım = − 3 x→1 x−1 x−1 3 + x2 + 2 (7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
x→1

l´ ım l´ ım

(x − 1) 3

(7 + x3 ) − 8 3 + x2 − 4 √ √ − = (7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4) (x − 1)( 3 + x2 + 2) x3 − 1 √ 3 − x2 − 1 √ = (x − 1)( 3 + x2 + 2)

x→1

(x − 1) 3 (7 + x3 )2 + 2 7 + x3 + 4)

Ana Mar´Albornoz R. ıa (x − 1)(x2 + x + 1) (x − 1)(x + 1) √ √ − = 3 x→1 (x − 1) 3 (7 + x3 )2 + 2 7 + x3 + 4) (x − 1)( 3 + x2 + 2) l´ ım
x→1

3

l´ ım

3

((x2 + x + 1) (x + 1) √ − √ = 3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4) ( 3 + x2 + 2) (7 + x

1+1+1 2 3 2 1 2 1 − = − = − =− 4+4+4 2+2 12 4 4 4 4 12) l´ ım
x→∞

(x + m)(x + n) − x Racionalizando queda: (x + m)(x + n)−x (x + m)(x + n) + x (x + m)(x + n) + x =l´ ım x2 = l´ ım (x + m)(x + n) − x2 (x + m)(x + n) + x Dividiendo =

x→∞

l´ ım

x→∞

x→∞

l´ ım

x2 + (m + n)x + mn − x2 (x + m)(x + n) + x

(m + n)x + mn + (m + n)x + mn + x

x→∞

por la potencia m´s grande de x, que es x2 queda: a
x→∞

l´ ım

(m + n) + 1+
(m+n) x

mn x mn x2

+

(m + n) + 0 m+n =√ = 2 1+0+0+1 +1

1 3 1 3 4 + 2x + x2 − 3 13) l´ ım − = l´ ım −...