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PR0BLEMARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

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-1-

05/10/2013

LA DERIVADA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en una curva.
Considere la recta que pasa por P y Q, llamada recta secante. La recta tangente en P es
la posición límite (si ésta existe) de la recta secante cuando Q se mueve hacia P a lo
largo de la curva(ver figura).

Suponga que la curva es la gráfica de la ecuación y = f ( x ) . Entonces, P tiene
coordenadas [c, f (c )], un punto cercano Q tiene coordenadas [c + h, f (c + h )], y la recta
secante de P y Q tiene pendiente msec dada por.
f (c + h ) − f (c )
msec =
h

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Mediante el concepto de límite, que estudiamosanteriormente, podemos dar una
definición formal de la recta tangente.
Definición de recta tangente
La recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto P(c, f (c )) es aquella recta que
pasa por P con pendiente
f (c + h ) − f (c )
h →0
h →0
h
Siempre y cuando este límite exista y no sea ∞ o − ∞ .
m tan = lím msec = lím

Ejemplo 1

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x) = x 2
en el punto P (2,4) .

Solución:
2

2

f (2 + h ) − f (2 )
(2 + h ) − (2) = lím 4 + 4h + h 2 − 4 =
m tan = lím
⇔ m tan = lím
h →0
h →0
h →0
h
h
h
2
4h + h
h(4 + h )
lím
= lím
=
= lím(4 + h ) = 4 + 0 = 4 ∴ mtan = 4
h →0
h →0
h →0
h
h

Ejemplo 2

Encuentra las pendientes de las rectas tangentes a la curva
1
y = f ( x ) = − x 2 + 2 x + 2 en los puntos deabscisas − 1, ,2 y 3.
2

Solución:
Generalizando el procedimiento para el cálculo de las pendientes en todas las
abscisas:

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2
f (c + h ) − f (c )
− (c + h ) + 2(c + h ) + 2 − (− c 2 + 2c + 2 )
m tan = lím
⇔ m tan = lím
=
h →0
h →0
h
h
− c 2 − 2ch − h 2 + 2c + 2h + 2 + c 2 − 2c − 2
− 2ch − h 2 + +2h
lím
= lím
⇔
h →0h →0
h
h
h(− 2c − h + 2 )
=
h →0
h
1
Para c = −1, ,2 y3
2

= lím

a) ∴ m tan1 = −2(− 1) + 2 = 2 + 2 = 4
c) ∴ m tan 3 = −2(2 ) + 2 = −4 + 2 = −2

Ejemplo 3

= lím(− 2c − h + 2 ) = − 2c − 0 + 2 = −2c + 2
h →0

1
b) ∴ m tan 2 = −2  + 2 = −1 + 2 = 1
2
d) ∴ m tan 4 = −2(3) + 2 = −6 + 2 = −4

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva y =

1
en lo
x

1
punto P  2,  .
 2

Solución:
Generalizando el procedimiento para el cálculo de las pendientes en todas las
abscisas:
c−c−h
1
1
−
f (c + h ) − f (c )
c(c + h )
m tan = lím
⇔ m tan = lím c + h c ⇒ m tan = lím
⇒=
h →0
h →0
h →0
h
h
h

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−h
−h
−h
c(c + h )
c(c + h )
m tan = lím
⇒ m tan = lím
⇒ m tan = lím
⇒h →0
h →0
h →0 hc(c + h )
h
h
1
1
−1
−1
−1
m tan = lím
⇒ m tan =
⇒ m tan = 2 ⇒ Pero c=2
h →0 c (c + h )
c(c + 0 )
c
−1
1
∴ mtan1 = 2 ⇒ ∴ mtan1 = −
2
4
Como piden la ecuación, entonces utilizaremos la fórmula y − y1 = m( x − x1 ) .
1
1
Donde m = − , x1 = 2 e y1 = .
2
4
Sustituyendo en la fórmula.
1
1
4
1

y − = − ( x − 2 ) ⇔ 4 y −  = −1(x − 2 ) ⇔ 4 y − = − x +2 ⇔ 4 y − 2 = − x + 2
2
4
2
2

Igualando a cero ⇔ x + 4 y − 2 − 2 = 0 ⇔
x + 4y − 4 = 0

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PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) = x 2 + 5 x en el

punto P (− 1,−4 ) .
2.- Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) = 3 x 2 + 5 x + 2 enel

punto P (− 2,4) .
3.- Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) =

4 − x 2 en el

punto P (0,2) .
4.- Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) =

x+2
en el
5 − 2x

punto P (3,−5) .
5.- Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x ) =

x + 3 en el

punto P (1,2) .
6.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la...