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ANALISIS CON EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DE SISTEMAS EN TIEMPO
DISCRETO Y LINELES Y INVARIANTES EN EL TIEMPO

5.1 SISTEMAS DISCRETOS:

Un sistema discreto en el tiempo se define matemáticamente como la
transformación o eloperador que traza una secuencia de entrada con valores x[n],
en una secuencia de salidacon valoresy[n]denotado:y[n]=T{x[n]}Enfatizando que el
valor de la secuencia desalida en cualquier punto del índice.Un sistema en tiempo
discreto viene caracterizado por magnitudes que varían solo eninstantes
específicos de tiempo.Estas magnitudes o señales en tiempo discreto Una señal
discreta es retrasada por muestras, cuando se escribe , con . Optamos por que
tenga avances negativos sobre los números enteros. Opuesto a los retrasos
análogos, los retrasos discretos enel tiempo solo pueden tener el valor de
números enteros. En el dominio de la frecuencia, el retraso de la señal
corresponde a un desplazamiento linear en el ángulo de la señal discreta de la
Transformada de Fourier . Nosotros usamos el término invariante al
desplazamiento para enfatizar que el retraso puede ocurrir solo en los números
enteros del sistema discreto, mientras tanto en las señalesanálogas, los retrasos
pueden ser valores arbitrarios.
Nosotros queremos concentrarnos en sistemas que son lineales e invariantes al
desplazamiento. Esto será lo que nos permitirá tener todo el control en el análisis
del dominio de la frecuencia y el control de su implementación. Por que no
tenemos una conexión física en la “construcción”del sistema, necesitamos
solamente tenerespecificaciones matemáticas. En los sistemas análogos, las
ecuaciones diferenciales especifican la entrada y la salida del dominio del tiempo.

5.2 TRASFORMADA Z Y SUS PROPIEDADES:
Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada
por una secuencia exponencial.
A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una
secuencia coincide con latransformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo
unidad.
Los principales motivos para introducir esta generalización son que: La
Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias .Facilita la

resolución de problemas analíticos .Permite la utilización de la Teoría de variable
compleja en problemas de señales y sistemas discretos.
En este tema estudiaremos la representación dela TZ de una secuencia y
veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las
propiedades de su TZ. Intentaremos ser precisos pero sin mantener un alto grado
de rigor matemático.
Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una
convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z.
Su utilidad principal consiste en el análisisy síntesis de filtros digitales.
La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien
recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento
frecuencial.
La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los
polos en el plano Z

5.3 SOLUCION DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS USANDO LA
TRASFORMADA Z:

De formaalternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n =
0, la transformada Z unilateral se define como Sea x[n] = 0.5^n\ . Expandiendo
x[n]\ en (-\infty, \infty)\ obtenemos
x[n] = \{..., 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\} = \{..., 2^3, 2^2, 2, 1,
0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\
Siendo la suma
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\
No hay ningún valor de z\que satisfaga esta condición.
Sea x[n] = 0.5^n u[n]\ (donde u es la función escalón). Expandiendo x[n]\ en (\infty, \infty)\ obtenemos
x[n] = \{..., 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\
Siendo la suma
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} =
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\
La última igualdad se obtiene con la...