Logaritmos

LOGARITMOS

I. DEFINICION DE LOGARITMO

El logaritmo de un número positivo N en base b, positivo y distinto de la unidad, es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir bx = N , o bien x = log b N .

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, porque elevando la base ( 3 ) al número obtenido ( 2 ) resulta 9 , que es el número del logaritmo.Esto escrito se denota de la siguiente manera:

Log 3 9 = 2, es decir 32 = 9 (se eleva la base al resultado para obtener el número.)

Otro ejemplo puede ser el de log 2 8,que es un número x al que se debe elevar la base 2 para obtener 8, es decir, 2x = 8. X=3, por lo tanto log 2 8 = 3.

Las relaciones bx = N y x = log b Nson equivalentes: bx =N es la forma exponencial y x= log b N es la forma logarítmica. Como consecuencia, a cada propiedad de la potenciación, le corresponde una propiedad de la logaritmización.

I.I PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

1. La suma de logaritmos de dos números es igual al logaritmo de la multiplicación de los números. Es decir:

Log x y + log x z = log x y · zEJEMPLO: log 2 3(5) = log 2 3 + log 2 5

2. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia de los logaritmos de ambos. O sea:

Log x y – log x z = log x y: z

EJEMPLO: log 5 17: 24 = log 5 17 – log 5 24

3. Cambio de base
Log x y =
EJEMPLO: log 2 15 =

4. log x x = 1

EJEMPLO: log 5 5 = 1 porque 5 1 = 5

5. Igualdadde Logaritmos.

log x y = log x k sólo si y = k

EJEMPLO: log 7 (3x+4) = log 7 (4x+3) => 3x+4 = 4x+3 => -x =-1
Luego x = 1

6. = y

7. Logaritmo de un argumento elevado a una potencia

log x y z = z log x y

8. Logaritmo elevado a una potencia

( log x y ) z = log z x y

I.II ECUACIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS

Se llamanecuaciones exponenciales logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita en el exponente.

EJEMPLOS: 3x = 1 ó 23x-1 = 3x+2

Se llaman ecuaciones logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita como argumento de una función logarítmica.

EJEMPLOS: log x = 2 ó log (3x-1) = log (x+2)Para resolver ecuaciones exponenciales podemos igualar las bases y aplicar.

EJEMPLO: 3X = 1
luego 3X = 30
entonces x = 0

I.III COLOGARITMOS

El cologaritmo de un número positivo es el logaritmo de su recíproco.

Por ejemplo:

colog N = log 1 = log 1- log N = -log N ya que log 1 = 0N

II EJERCICIOS RESUELTOS DE COMPRENSION

II.I RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

a) log 3 x = 2

32 = x , x = 9

b) log 4 y = - 3
2

4 –3/2 = y , y = 1
8

II.II RESOLVER:
a) log x 25 = 2

x2 = 25 , x = + 5luego x = 5 es solución y x = -5 no essolución porque la base de un logaritmo no puede ser negativa.

b) log (3x2 +2x – 4 ) = 0

10 0 =3x 2 +2x – 4 luego 3x2 + 2x – 5 = 0 , finalmente x1 = - 5/3 y x2 = 1

II.II PROBLEMAS EXPLICATIVOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS

1. Calcular x

52x+2 = 35x-1

(2x+2) log 5 = (5x-1) log 32x log 5- 5x log 3 = - log 3 – 2log 5

x(2log 5 –5log 3) = - log 3 – 2log 5

x = log 3+ 2log 5 = 1,898 x = 1,898
5log 3- 2log 5

2. Calcular x

log 2 (9 x-1 + 7) = 2+log 2 (3x-1 + 1)

log 2 (3 2x-2 + 7) = 2+log2 (3 x-1 + 1)

log 2 (3 2x-2 +7) = log 2 4 +log 2 (3x-1 + 1)

log 2 (32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1 + 1)

(32x-2 +7) = 4 (3x-1...